初等代数示例

$| \frac{x}{3} - \frac{x}{4} | - 1 < 0$

解题步骤 1

将 $| \frac{x}{3} - \frac{x}{4} | - 1 < 0$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} \geq 0$

解题步骤 1.2

求解不等式。

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解题步骤 1.2.1

化简 $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

要将 $\frac{x}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \geq 0$

解题步骤 1.2.1.2

要将 $- \frac{x}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

解题步骤 1.2.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 1.2.1.3.1

将 $\frac{x}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

解题步骤 1.2.1.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} \geq 0$

解题步骤 1.2.1.3.3

将 $\frac{x}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} \geq 0$

解题步骤 1.2.1.3.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} \geq 0$

解题步骤 1.2.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} \geq 0$

解题步骤 1.2.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.1.5.1

从 $x \cdot 4 - x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1.5.1.1

从 $x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (4) - x \cdot 3}{12} \geq 0$

解题步骤 1.2.1.5.1.2

从 $- x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} \geq 0$

解题步骤 1.2.1.5.1.3

从 $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} \geq 0$

解题步骤 1.2.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x (4 - 3)}{12} \geq 0$

解题步骤 1.2.1.5.3

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{x \cdot 1}{12} \geq 0$

解题步骤 1.2.1.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{12} \geq 0$

解题步骤 1.2.2

两边同时乘以 $12$ 。

$\frac{x}{12} \cdot 12 \geq 0 \cdot 12$

解题步骤 1.2.3

化简。

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解题步骤 1.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.1.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x}{12} \cdot 12 \geq 0 \cdot 12$

解题步骤 1.2.3.1.1.2

重写表达式。

$x \geq 0 \cdot 12$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $0$ 乘以 $12$ 。

$x \geq 0$

解题步骤 1.3

在 $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0$

解题步骤 1.4

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} < 0$

解题步骤 1.5

求解不等式。

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解题步骤 1.5.1

化简 $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

要将 $\frac{x}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} < 0$

解题步骤 1.5.1.2

要将 $- \frac{x}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

解题步骤 1.5.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 1.5.1.3.1

将 $\frac{x}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

解题步骤 1.5.1.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} < 0$

解题步骤 1.5.1.3.3

将 $\frac{x}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} < 0$

解题步骤 1.5.1.3.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} < 0$

解题步骤 1.5.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} < 0$

解题步骤 1.5.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.1.5.1

从 $x \cdot 4 - x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.5.1.5.1.1

从 $x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (4) - x \cdot 3}{12} < 0$

解题步骤 1.5.1.5.1.2

从 $- x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} < 0$

解题步骤 1.5.1.5.1.3

从 $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} < 0$

解题步骤 1.5.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x (4 - 3)}{12} < 0$

解题步骤 1.5.1.5.3

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{x \cdot 1}{12} < 0$

解题步骤 1.5.1.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{12} < 0$

解题步骤 1.5.2

两边同时乘以 $12$ 。

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 0 \cdot 12$

解题步骤 1.5.3

化简。

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解题步骤 1.5.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.5.3.1.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 0 \cdot 12$

解题步骤 1.5.3.1.1.2

重写表达式。

$x < 0 \cdot 12$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

将 $0$ 乘以 $12$ 。

$x < 0$

解题步骤 1.6

在 $\frac{x}{3} - \frac{x}{4}$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0$

解题步骤 1.7

书写为分段式。

${\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8

化简 $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} - 1 < 0$ 。

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解题步骤 1.8.1

要将 $\frac{x}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8.2

要将 $- \frac{x}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 1.8.3.1

将 $\frac{x}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8.3.3

将 $\frac{x}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8.3.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8.4

在公分母上合并分子。

${\begin{cases} \frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8.5

化简每一项。

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解题步骤 1.8.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.8.5.1.1

从 $x \cdot 4 - x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.8.5.1.1.1

从 $x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

${\begin{cases} \frac{x (4) - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8.5.1.1.2

从 $- x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

${\begin{cases} \frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8.5.1.1.3

从 $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ 中分解出因数 $x$ 。

${\begin{cases} \frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

${\begin{cases} \frac{x (4 - 3)}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8.5.1.3

从 $4$ 中减去 $3$ 。

${\begin{cases} \frac{x \cdot 1}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.8.5.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9

化简每一项。

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解题步骤 1.9.1

要将 $\frac{x}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9.2

要将 $- \frac{x}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 1.9.3.1

将 $\frac{x}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x}{4} \cdot \frac{3}{3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9.3.3

将 $\frac{x}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9.3.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - (\frac{x \cdot 4}{12} - \frac{x \cdot 3}{12}) - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9.4

在公分母上合并分子。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x \cdot 4 - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9.5

化简分子。

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解题步骤 1.9.5.1

从 $x \cdot 4 - x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.9.5.1.1

从 $x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4) - x \cdot 3}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9.5.1.2

从 $- x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4) + x (- 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9.5.1.3

从 $x (4) + x (- 1 \cdot 3)$ 中分解出因数 $x$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4 - 1 \cdot 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9.5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x (4 - 3)}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9.5.3

从 $4$ 中减去 $3$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x \cdot 1}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.9.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

${\begin{cases} \frac{x}{12} - 1 < 0 & x \geq 0 \\ - \frac{x}{12} - 1 < 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2

当 $x \geq 0$ 时求解 $\frac{x}{12} - 1 < 0$ 。

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解题步骤 2.1

求解 $x$ 的 $\frac{x}{12} - 1 < 0$ 。

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解题步骤 2.1.1

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$\frac{x}{12} < 1$

解题步骤 2.1.2

两边同时乘以 $12$ 。

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 1 \cdot 12$

解题步骤 2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.1.3.1.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x}{12} \cdot 12 < 1 \cdot 12$

解题步骤 2.1.3.1.1.2

重写表达式。

$x < 1 \cdot 12$

解题步骤 2.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.3.2.1

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$x < 12$

解题步骤 2.2

求 $x < 12$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x < 12$

解题步骤 3

当 $x < 0$ 时求解 $- \frac{x}{12} - 1 < 0$ 。

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解题步骤 3.1

求解 $x$ 的 $- \frac{x}{12} - 1 < 0$ 。

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解题步骤 3.1.1

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$- \frac{x}{12} < 1$

解题步骤 3.1.2

将 $- \frac{x}{12} < 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $- \frac{x}{12} < 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- \frac{x}{12}}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{x}{12}}{1} > \frac{1}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2.2

用 $\frac{x}{12}$ 除以 $1$ 。

$\frac{x}{12} > \frac{1}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\frac{x}{12} > - 1$

解题步骤 3.1.3

两边同时乘以 $12$ 。

$\frac{x}{12} \cdot 12 > - 1 \cdot 12$

解题步骤 3.1.4

化简。

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解题步骤 3.1.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.4.1.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x}{12} \cdot 12 > - 1 \cdot 12$

解题步骤 3.1.4.1.1.2

重写表达式。

$x > - 1 \cdot 12$

解题步骤 3.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.1.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$x > - 12$

解题步骤 3.2

求 $x > - 12$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 12 < x < 0$

解题步骤 4

求解的并集。

$- 12 < x < 12$

解题步骤 5

初等代数 示例

初等代数示例