初等代数示例

$\frac{\sqrt{x^{5}}}{\sqrt{x^{12}}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ 无定义。

$x \leq 0$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} | \sqrt{x}}{x}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

简化。

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解题步骤 3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} | x^{\frac{1}{2}}}{x}$

解题步骤 3.1.2

从 $| \frac{1}{x^{3}} | x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

解题步骤 3.1.3

约去公因数。

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解题步骤 3.1.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x^{1}}$

解题步骤 3.1.3.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.4

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 3.1.3.5

用 $| \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} | \frac{1}{x^{3}} | x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to \infty} \frac{| \frac{1}{x^{3}} |}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{| \frac{1}{x^{3}} |}{x^{\frac{1}{2}}}$ 趋于 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = 0$

无法求斜渐近线

解题步骤 7

初等代数 示例

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