初等代数示例

$\frac{\frac{5 + x^{2}}{7 \sqrt{x}} - 7 x \sqrt{x}}{{(5 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ 无定义。

$x \leq 0$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

简化。

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解题步骤 3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2})}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.1.2

从 $x^{\frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2}))}{7 x {(5 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.1.3

约去公因数。

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解题步骤 3.1.3.1

从 $7 x {(5 + x^{2})}^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2}))}{x (7 {(5 + x^{2})}^{2})}$

解题步骤 3.1.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2}))}{x (7 {(5 + x^{2})}^{2})}$

解题步骤 3.1.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}} (5 - 48 x^{2})}{7 {(5 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{7 {(5 + x^{2})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.2

因为项 $\frac{1}{7}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{{(5 + x^{2})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{{(5 + x^{2})}^{2} \sqrt{x}}$

解题步骤 3.4

将 ${(5 + x^{2})}^{2} \sqrt{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{5 - 48 x^{2}}{\sqrt{x} {(5 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

分子分母同时除以分母中 $x$ 的最高次幂。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{- 48 x^{2}}{x^{4}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简项。

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解题步骤 3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1.1.1

从 $- 48 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot - 48}{x^{4}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.1.1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot - 48}{x^{2} x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot - 48}{x^{2} x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} + \frac{- 48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.6.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} {(\frac{5}{x^{2}} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.2

将 ${(\frac{5}{x^{2}} + 1)}^{2}$ 重写为 $(\frac{5}{x^{2}} + 1) (\frac{5}{x^{2}} + 1)$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} + 1) (\frac{5}{x^{2}} + 1)}$

解题步骤 3.7

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{5}{x^{2}} + 1) (\frac{5}{x^{2}} + 1)$ 。

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解题步骤 3.7.1

运用分配律。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} (\frac{5}{x^{2}} + 1) + 1 (\frac{5}{x^{2}} + 1))}$

解题步骤 3.7.2

运用分配律。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} \cdot \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 (\frac{5}{x^{2}} + 1))}$

解题步骤 3.7.3

运用分配律。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5}{x^{2}} \cdot \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.1.1

合并。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5 \cdot 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.8.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.8.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5 \cdot 5}{x^{2 + 2}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.8.1.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{5 \cdot 5}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.8.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} \cdot 1 + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.8.1.4

将 $\frac{5}{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} + 1 \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.8.1.5

将 $\frac{5}{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.8.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 1)}$

解题步骤 3.8.2

将 $\frac{5}{x^{2}}$ 和 $\frac{5}{x^{2}}$ 相加。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + 2 \frac{5}{x^{2}} + 1)}$

解题步骤 3.9

乘以 $2 \frac{5}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.9.1

组合 $2$ 和 $\frac{5}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{2 \cdot 5}{x^{2}} + 1)}$

解题步骤 3.9.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} (\frac{25}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + 1)}$

解题步骤 3.10

运用分配律。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\sqrt{x} \frac{25}{x^{4}} + \sqrt{x} \frac{10}{x^{2}} + \sqrt{x} \cdot 1}$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

组合 $\sqrt{x}$ 和 $\frac{25}{x^{4}}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x} \cdot 25}{x^{4}} + \sqrt{x} \frac{10}{x^{2}} + \sqrt{x} \cdot 1}$

解题步骤 3.11.2

组合 $\sqrt{x}$ 和 $\frac{10}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x} \cdot 25}{x^{4}} + \frac{\sqrt{x} \cdot 10}{x^{2}} + \sqrt{x} \cdot 1}$

解题步骤 3.11.3

将 $\sqrt{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x} \cdot 25}{x^{4}} + \frac{\sqrt{x} \cdot 10}{x^{2}} + \sqrt{x}}$

解题步骤 3.12

化简每一项。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{25 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10 \sqrt{x}}{x^{2}} + \sqrt{x}}$

解题步骤 3.13

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{\frac{5}{x^{4}} - \frac{48}{x^{2}}}{\frac{25 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10 \sqrt{x}}{x^{2}} + \sqrt{x}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{7} \cdot 0$

解题步骤 3.14

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

水平渐近线： $y = 0$

无法求斜渐近线

解题步骤 7

初等代数 示例

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