初等代数示例

$\frac{3}{5^{2 x - 3}} > \frac{5}{3^{x + 2}}$

解题步骤 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

解题步骤 2

将 $\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}})$ 重写为 $\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3})$ 。

$\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

解题步骤 3

通过将 $2 x - 3$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{2 x - 3})$ 。

$\ln (3) - ((2 x - 3) \ln (5)) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

解题步骤 4

去掉圆括号。

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

解题步骤 5

将 $\ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$ 重写为 $\ln (5) - \ln (3^{x + 2})$ 。

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - \ln (3^{x + 2})$

解题步骤 6

通过将 $x + 2$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{x + 2})$ 。

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - ((x + 2) \ln (3))$

解题步骤 7

去掉圆括号。

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

解题步骤 8

求解 $x$ 的不等式。

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解题步骤 8.1

化简左边。

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解题步骤 8.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1.1

运用分配律。

$\ln (3) + (- (2 x) + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

解题步骤 8.1.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

解题步骤 8.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

解题步骤 8.1.1.4

运用分配律。

$\ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

解题步骤 8.1.2

将 $\ln (3)$ 和 $- 2 x \ln (5)$ 重新排序。

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

运用分配律。

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 2) \ln (3)$

解题步骤 8.2.1.3

运用分配律。

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - x \ln (3) - 2 \ln (3)$

解题步骤 8.2.2

将 $\ln (5)$ 和 $- x \ln (3)$ 重新排序。

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

解题步骤 8.3

化简左边。

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解题步骤 8.3.1

化简 $- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5)$ 。

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解题步骤 8.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (5)$ 。

$x (- \ln (5^{2})) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

解题步骤 8.3.1.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

解题步骤 8.3.1.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (5)$ 。

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (5^{3}) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

解题步骤 8.3.1.1.4

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

解题步骤 8.3.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$x (- \ln (25)) + \ln (3 \cdot 125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

解题步骤 8.3.1.3

将 $3$ 乘以 $125$ 。

$x (- \ln (25)) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

解题步骤 8.3.1.4

将 $x (- \ln (25)) + \ln (375)$ 中的因式重新排序。

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

解题步骤 8.4

化简右边。

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解题步骤 8.4.1

化简 $- x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$ 。

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解题步骤 8.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (3)$ 。

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (3^{2})$

解题步骤 8.4.1.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (9)$

解题步骤 8.4.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (\frac{5}{9})$

解题步骤 8.5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- x \ln (25) + \ln (375) + x \ln (3) - \ln (\frac{5}{9}) = 0$

解题步骤 8.6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (\frac{375}{\frac{5}{9}}) = 0$

解题步骤 8.7

化简每一项。

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解题步骤 8.7.1

将分子乘以分母的倒数。

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (375 (\frac{9}{5})) = 0$

解题步骤 8.7.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.2.1

从 $375$ 中分解出因数 $5$ 。

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 (75) (\frac{9}{5})) = 0$

解题步骤 8.7.2.2

约去公因数。

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 \cdot (75 (\frac{9}{5}))) = 0$

解题步骤 8.7.2.3

重写表达式。

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (75 \cdot 9) = 0$

解题步骤 8.7.3

将 $75$ 乘以 $9$ 。

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (675) = 0$

解题步骤 8.8

从等式两边同时减去 $\ln (675)$ 。

$- x \ln (25) + x \ln (3) = - \ln (675)$

解题步骤 8.9

从 $- x \ln (25) + x \ln (3)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 8.9.1

从 $- x \ln (25)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 1 \ln (25)) + x \ln (3) = - \ln (675)$

解题步骤 8.9.2

从 $x \ln (3)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3)) = - \ln (675)$

解题步骤 8.9.3

从 $x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3))$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 1 \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

解题步骤 8.10

将 $- 1 \ln (25)$ 重写为 $- \ln (25)$ 。

$x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

解题步骤 8.11

将 $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ 中的每一项除以 $- \ln (25) + \ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 8.11.1

将 $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ 中的每一项都除以 $- \ln (25) + \ln (3)$ 。

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

解题步骤 8.11.2

化简左边。

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解题步骤 8.11.2.1

约去 $- \ln (25) + \ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 8.11.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

解题步骤 8.11.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

解题步骤 8.11.3

化简右边。

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解题步骤 8.11.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

解题步骤 8.11.3.2

从 $- \ln (25)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

解题步骤 8.11.3.3

从 $\ln (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) - 1 (- \ln (3))}$

解题步骤 8.11.3.4

从 $- \ln (25) - 1 (- \ln (3))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = - \frac{\ln (675)}{- (\ln (25) - \ln (3))}$

解题步骤 8.11.3.5

化简表达式。

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解题步骤 8.11.3.5.1

将 $- (\ln (25) - \ln (3))$ 重写为 $- 1 (\ln (25) - \ln (3))$ 。

$x = - \frac{\ln (675)}{- 1 (\ln (25) - \ln (3))}$

解题步骤 8.11.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$x = - - \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

解题步骤 8.11.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = 1 \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

解题步骤 8.11.3.5.4

将 $\frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

解题步骤 9

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

解题步骤 10

初等代数 示例

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