初等代数示例

${| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$

解题步骤 1

求绝对值的顶点。在本例中， $y = {| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$ 的顶点是 $(3, 0)$ 。

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解题步骤 1.1

要求顶点的 $x$ 坐标，请将绝对值 $1 - \frac{x}{3}$ 的内部设为等于 $0$ 。在本例中，即 $1 - \frac{x}{3} = 0$ 。

$1 - \frac{x}{3} = 0$

解题步骤 1.2

求解方程 $1 - \frac{x}{3} = 0$ 以求出绝对值顶点的 $x$ 坐标。

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解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{x}{3} = - 1$

解题步骤 1.2.2

等式两边同时乘以 $- 3$ 。

$- 3 (- \frac{x}{3}) = - 3 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.1.1

化简 $- 3 (- \frac{x}{3})$ 。

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解题步骤 1.2.3.1.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1.1.1.1

将 $- \frac{x}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$- 3 \frac{- x}{3} = - 3 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.3.1.1.1.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 1) \frac{- x}{3} = - 3 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.3.1.1.1.3

约去公因数。

$3 \cdot - 1 \frac{- x}{3} = - 3 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.3.1.1.1.4

重写表达式。

$- - x = - 3 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.3.1.1.2

乘。

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解题步骤 1.2.3.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 x = - 3 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.3.1.1.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = - 3 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$x = 3$

解题步骤 1.3

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$y = {| 1 - \frac{3}{3} |}^{3}$

解题步骤 1.4

化简 ${| 1 - \frac{3}{3} |}^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.1.1

约去公因数。

$y = {| 1 - \frac{3}{3} |}^{3}$

解题步骤 1.4.1.1.2

重写表达式。

$y = {| 1 - 1 \cdot 1 |}^{3}$

解题步骤 1.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = {| 1 - 1 |}^{3}$

解题步骤 1.4.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$y = {| 0 |}^{3}$

解题步骤 1.4.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$y = 0^{3}$

解题步骤 1.4.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.5

绝对值顶点为 $(3, 0)$ 。

$(3, 0)$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

对于每一个 $x$ 值，都有一个 $y$ 值。从定义域中选择几个 $x$ 值。选择绝对值顶点附近的 $x$ 值将更加有用。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = {| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$ 。在本例中，该点为 $(1, \frac{8}{27})$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {| 1 - \frac{1}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (1) = {| \frac{3}{3} - \frac{1}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.1.2.2

在公分母上合并分子。

$f (1) = {| \frac{3 - 1}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.1.2.3

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = {| \frac{2}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.1.2.4

$\frac{2}{3}$ 约为 $0.\overline{6}$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$f (1) = {(\frac{2}{3})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.5

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (1) = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

解题步骤 3.1.2.6

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (1) = \frac{8}{3^{3}}$

解题步骤 3.1.2.7

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (1) = \frac{8}{27}$

解题步骤 3.1.2.8

最终答案为 $\frac{8}{27}$ 。

$y = \frac{8}{27}$

解题步骤 3.2

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = {| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$ 。在本例中，该点为 $(2, \frac{1}{27})$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = {| 1 - \frac{2}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (2) = {| \frac{3}{3} - \frac{2}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (2) = {| \frac{3 - 2}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.2.2.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f (2) = {| \frac{1}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.2.2.4

$\frac{1}{3}$ 约为 $0.\overline{3}$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$f (2) = {(\frac{1}{3})}^{3}$

解题步骤 3.2.2.5

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (2) = \frac{1^{3}}{3^{3}}$

解题步骤 3.2.2.6

一的任意次幂都为一。

$f (2) = \frac{1}{3^{3}}$

解题步骤 3.2.2.7

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = \frac{1}{27}$

解题步骤 3.2.2.8

最终答案为 $\frac{1}{27}$ 。

$y = \frac{1}{27}$

解题步骤 3.3

将 $x$ 的值 $5$ 代入 $f (x) = {| 1 - \frac{x}{3} |}^{3}$ 。在本例中，该点为 $(5, \frac{8}{27})$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = {| 1 - \frac{5}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (5) = {| \frac{3}{3} - \frac{5}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.3.2.2

在公分母上合并分子。

$f (5) = {| \frac{3 - 5}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.3.2.3

从 $3$ 中减去 $5$ 。

$f (5) = {| \frac{- 2}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.3.2.4

将负号移到分数的前面。

$f (5) = {| - \frac{2}{3} |}^{3}$

解题步骤 3.3.2.5

$- \frac{2}{3}$ 约为 $- 0.\overline{6}$ ，因其为负数，所以对 $- \frac{2}{3}$ 取反并去掉绝对值

$f (5) = {(\frac{2}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.6

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (5) = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

解题步骤 3.3.2.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (5) = \frac{8}{3^{3}}$

解题步骤 3.3.2.8

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (5) = \frac{8}{27}$

解题步骤 3.3.2.9

最终答案为 $\frac{8}{27}$ 。

$y = \frac{8}{27}$

解题步骤 3.4

可以利用顶点附近的点 $(3, 0), (1, 0.3), (2, 0.04), (4, 0.04), (5, 0.3)$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.3 \\ 2 & 0.04 \\ 3 & 0 \\ 4 & 0.04 \\ 5 & 0.3 \end{array}$

解题步骤 4

初等代数 示例

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