初等代数示例

$\frac{\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 16}}{\frac{2 x + 10}{x^{2} - 4 x \cdot \frac{2 x + 8}{x^{2} - 5 x}}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ 无定义。

$x = - 4, x = 4$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 4$ 时， $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 4$ 时， $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 4$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 4$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $4$ 时， $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $4$ 时， $\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = 4$ 是一条垂直渐近线。

$x = 4$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 4, 4$

解题步骤 5

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 7

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 8.1

化简分母。

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解题步骤 8.1.1

从 $2 x^{2} - 32$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 8.1.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x^{2}) - 32}$

解题步骤 8.1.1.2

从 $- 32$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} + 2 \cdot - 16}$

解题步骤 8.1.1.3

从 $2 x^{2} + 2 \cdot - 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x^{2} - 16)}$

解题步骤 8.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x^{2} - 4^{2})}$

解题步骤 8.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 8.2

展开 $2 (x + 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 8.2.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{(2 x + 2 \cdot 4) (x - 4)}$

解题步骤 8.2.2

运用分配律。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x (x - 4) + 2 \cdot (4 (x - 4))}$

解题步骤 8.2.3

运用分配律。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 + 2 \cdot (4 (x - 4))}$

解题步骤 8.2.4

运用分配律。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

解题步骤 8.2.5

移动 $x$ 。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

解题步骤 8.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

解题步骤 8.2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

解题步骤 8.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

解题步骤 8.2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} + 2 \cdot (- 4 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

解题步骤 8.2.10

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot (4 x) + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

解题步骤 8.2.11

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 8 x + 2 \cdot 4 \cdot - 4}$

解题步骤 8.2.12

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 8 x + 8 \cdot - 4}$

解题步骤 8.2.13

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 8 x + 8 x - 32}$

解题步骤 8.2.14

将 $- 8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} + 0 - 32}$

解题步骤 8.2.15

从 $0$ 中减去 $32$ 。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 32}{2 x^{2} - 32}$

解题步骤 8.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$32$

解题步骤 8.4

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 。

							$\frac{x}{2}$
	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$

解题步骤 8.5

将新的商式项乘以除数。

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					+	$x^{3}$	+	$0$	-	$16 x$

解题步骤 8.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 0 - 16 x$ 中的所有符号

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$

解题步骤 8.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$

解题步骤 8.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

						$\frac{x}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$

解题步骤 8.9

将被除数中的最高阶项 $- 5 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 。

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$

解题步骤 8.10

将新的商式项乘以除数。

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$80$

解题步骤 8.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 5 x^{2} + 0 + 80$ 中的所有符号

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$
							+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$80$

解题步骤 8.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{2}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$32$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$32$
							+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$80$
									+	$8 x$	-	$112$

解题步骤 8.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{x}{2} - \frac{5}{2} + \frac{8 x - 112}{2 x^{2} - 32}$

解题步骤 8.14

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 4, 4$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

解题步骤 10

初等代数 示例

初等代数示例