初等代数示例

${(x - 4)}^{2} = - 4 (y + 1)$

解题步骤 1

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$ 。

$- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 1.2

将 $- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 (y + 1)}{- 4} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 (y + 1)}{- 4} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

解题步骤 1.2.2.1.2

用 $y + 1$ 除以 $1$ 。

$y + 1 = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y + 1 = - \frac{{(x - 4)}^{2}}{4}$

解题步骤 1.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = - \frac{{(x - 4)}^{2}}{4} - 1$

解题步骤 2

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 2.1

重新排序项。

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 4)}^{2} - 1$

解题步骤 2.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 4$

$k = - 1$

解题步骤 2.3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 2.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(4, - 1)$

解题步骤 2.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 2.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 2.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 2.5.3

化简。

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解题步骤 2.5.3.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

解题步骤 2.5.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 2.5.3.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

解题步骤 2.5.3.3

用 $4$ 除以 $4$ 。

$- \frac{1}{1}$

解题步骤 2.5.3.4

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.4.1

约去公因数。

$- \frac{1}{1}$

解题步骤 2.5.3.4.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 2.5.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.6

求焦点。

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解题步骤 2.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 2.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, - 2)$

解题步骤 2.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 4$

解题步骤 2.8

求准线。

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解题步骤 2.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 2.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = 0$

解题步骤 2.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(4, - 1)$

焦点： $(4, - 2)$

对称轴： $x = 4$

准线： $y = 0$

方向：开口向下

顶点： $(4, - 1)$

焦点： $(4, - 2)$

对称轴： $x = 4$

准线： $y = 0$

解题步骤 3

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 20}{4}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

约去 ${(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 20$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

从 ${(2)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = - \frac{2 \cdot 2 - 8 \cdot 2 + 20}{4}$

解题步骤 3.2.1.2

从 $- 8 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = - \frac{2 \cdot 2 + 2 (- 4 \cdot 2) + 20}{4}$

解题步骤 3.2.1.3

从 $2 \cdot 2 + 2 (- 4 \cdot 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2) + 20}{4}$

解题步骤 3.2.1.4

从 $20$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2) + 2 (10)}{4}$

解题步骤 3.2.1.5

从 $2 \cdot (2 - 4 \cdot 2) + 2 (10)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2 + 10)}{4}$

解题步骤 3.2.1.6

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1.6.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2 + 10)}{2 (2)}$

解题步骤 3.2.1.6.2

约去公因数。

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2 + 10)}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.2.1.6.3

重写表达式。

$f (2) = - \frac{2 - 4 \cdot 2 + 10}{2}$

解题步骤 3.2.2

约去 $2 - 4 \cdot 2 + 10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = - \frac{2 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 10}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

从 $- 4 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 2 \cdot 2) + 10}{2}$

解题步骤 3.2.2.3

从 $2 (1) + 2 (- 2 \cdot 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2) + 10}{2}$

解题步骤 3.2.2.4

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2) + 2 \cdot 5}{2}$

解题步骤 3.2.2.5

从 $2 (1 - 2 \cdot 2) + 2 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2 + 5)}{2}$

解题步骤 3.2.2.6

约去公因数。

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解题步骤 3.2.2.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2 + 5)}{2 (1)}$

解题步骤 3.2.2.6.2

约去公因数。

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2 + 5)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.2.6.3

重写表达式。

$f (2) = - \frac{1 - 2 \cdot 2 + 5}{1}$

解题步骤 3.2.2.6.4

用 $1 - 2 \cdot 2 + 5$ 除以 $1$ 。

$f (2) = - (1 - 2 \cdot 2 + 5)$

解题步骤 3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = - (1 - 4 + 5)$

解题步骤 3.2.3.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f (2) = - (- 3 + 5)$

解题步骤 3.2.3.3

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$f (2) = - 1 \cdot 2$

解题步骤 3.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = - 2$

解题步骤 3.2.4

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 3.3

$y$ 在 $x = 2$ 处的值为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 3.4

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2} - 8 \cdot 3 + 20}{4}$

解题步骤 3.5

化简结果。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = - \frac{9 - 8 \cdot 3 + 20}{4}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = - \frac{9 - 24 + 20}{4}$

解题步骤 3.5.1.3

从 $9$ 中减去 $24$ 。

$f (3) = - \frac{- 15 + 20}{4}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $- 15$ 和 $20$ 相加。

$f (3) = - \frac{5}{4}$

解题步骤 3.5.2

最终答案为 $- \frac{5}{4}$ 。

$- \frac{5}{4}$

解题步骤 3.6

$y$ 在 $x = 3$ 处的值为 $- \frac{5}{4}$ 。

$y = - \frac{5}{4}$

解题步骤 3.7

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = - \frac{{(6)}^{2} - 8 \cdot 6 + 20}{4}$

解题步骤 3.8

化简结果。

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解题步骤 3.8.1

化简分子。

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解题步骤 3.8.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (6) = - \frac{36 - 8 \cdot 6 + 20}{4}$

解题步骤 3.8.1.2

将 $- 8$ 乘以 $6$ 。

$f (6) = - \frac{36 - 48 + 20}{4}$

解题步骤 3.8.1.3

从 $36$ 中减去 $48$ 。

$f (6) = - \frac{- 12 + 20}{4}$

解题步骤 3.8.1.4

将 $- 12$ 和 $20$ 相加。

$f (6) = - \frac{8}{4}$

解题步骤 3.8.2

化简表达式。

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解题步骤 3.8.2.1

用 $8$ 除以 $4$ 。

$f (6) = - 1 \cdot 2$

解题步骤 3.8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (6) = - 2$

解题步骤 3.8.3

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 3.9

$y$ 在 $x = 6$ 处的值为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 3.10

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 20}{4}$

解题步骤 3.11

化简结果。

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解题步骤 3.11.1

化简分子。

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解题步骤 3.11.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5) = - \frac{25 - 8 \cdot 5 + 20}{4}$

解题步骤 3.11.1.2

将 $- 8$ 乘以 $5$ 。

$f (5) = - \frac{25 - 40 + 20}{4}$

解题步骤 3.11.1.3

从 $25$ 中减去 $40$ 。

$f (5) = - \frac{- 15 + 20}{4}$

解题步骤 3.11.1.4

将 $- 15$ 和 $20$ 相加。

$f (5) = - \frac{5}{4}$

解题步骤 3.11.2

最终答案为 $- \frac{5}{4}$ 。

$- \frac{5}{4}$

解题步骤 3.12

$y$ 在 $x = 5$ 处的值为 $- \frac{5}{4}$ 。

$y = - \frac{5}{4}$

解题步骤 3.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 2 \\ 3 & - \frac{5}{4} \\ 4 & - 1 \\ 5 & - \frac{5}{4} \\ 6 & - 2 \end{array}$

解题步骤 4

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(4, - 1)$

焦点： $(4, - 2)$

对称轴： $x = 4$

准线： $y = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 2 \\ 3 & - \frac{5}{4} \\ 4 & - 1 \\ 5 & - \frac{5}{4} \\ 6 & - 2 \end{array}$

解题步骤 5

初等代数 示例

初等代数示例