初等代数示例

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)}{x^{2} + 25}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 5$

$m = 2$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

从 $3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $3 x^{5}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{5}) + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.1.2

从 $6 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.1.3

从 $54 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.1.4

从 $108 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.1.5

从 $- 525 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{5}) + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) - 1050}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.1.6

从 $- 1050$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 x^{5} + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.1.7

从 $3 x^{5} + 3 (2 x^{4})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.1.8

从 $3 (x^{5} + 2 x^{4}) + 3 (18 x^{3})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.1.9

从 $3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3}) + 3 (36 x^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.1.10

从 $3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2}) + 3 (- 175 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.1.11

从 $3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x) + 3 \cdot - 350$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2

展开 $3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x - 350)$ 。

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解题步骤 6.2.1

运用分配律。

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2} - 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.2

运用分配律。

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3} + 36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.3

运用分配律。

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4} + 18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.4

运用分配律。

$\frac{3 (x^{5} + 2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.5

运用分配律。

$\frac{3 x^{5} + 3 (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.6

去掉圆括号。

$\frac{3 x^{5} + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.7

去掉圆括号。

$\frac{3 x^{5} + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 \cdot (18 x^{3}) + 3 (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.8

去掉圆括号。

$\frac{3 x^{5} + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 \cdot (18 x^{3}) + 3 \cdot (36 x^{2}) + 3 (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.9

去掉圆括号。

$\frac{3 x^{5} + 3 \cdot (2 x^{4}) + 3 \cdot (18 x^{3}) + 3 \cdot (36 x^{2}) + 3 \cdot (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 3 \cdot (18 x^{3}) + 3 \cdot (36 x^{2}) + 3 \cdot (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.11

将 $3$ 乘以 $18$ 。

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 3 \cdot (36 x^{2}) + 3 \cdot (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.12

将 $3$ 乘以 $36$ 。

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} + 3 \cdot (- 175 x) + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.13

将 $3$ 乘以 $- 175$ 。

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x + 3 \cdot - 350}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.2.14

将 $3$ 乘以 $- 350$ 。

$\frac{3 x^{5} + 6 x^{4} + 54 x^{3} + 108 x^{2} - 525 x - 1050}{x^{2} + 25}$

解题步骤 6.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

解题步骤 6.4

将被除数中的最高阶项 $3 x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

解题步骤 6.5

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

解题步骤 6.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{5} + 0 + 75 x^{3}$ 中的所有符号

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

解题步骤 6.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

解题步骤 6.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

解题步骤 6.9

将被除数中的最高阶项 $6 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

解题步骤 6.10

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

解题步骤 6.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x^{4} + 0 + 150 x^{2}$ 中的所有符号

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

解题步骤 6.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

$21 x^{3}$

$42 x^{2}$

解题步骤 6.13

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

$21 x^{3}$

$42 x^{2}$

$525 x$

解题步骤 6.14

将被除数中的最高阶项 $- 21 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

$21 x^{3}$

$42 x^{2}$

$525 x$

解题步骤 6.15

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

$21 x^{3}$

$42 x^{2}$

$525 x$

$21 x^{3}$

$0$

$525 x$

解题步骤 6.16

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 21 x^{3} + 0 - 525 x$ 中的所有符号

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

$21 x^{3}$

$42 x^{2}$

$525 x$

$21 x^{3}$

$0$

$525 x$

解题步骤 6.17

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

$3 x^{5}$

$6 x^{4}$

$54 x^{3}$

$108 x^{2}$

$525 x$

$1050$

$3 x^{5}$

$0$

$75 x^{3}$

$6 x^{4}$

$21 x^{3}$

$108 x^{2}$

$6 x^{4}$

$0$

$150 x^{2}$

$21 x^{3}$

$42 x^{2}$

$525 x$

$21 x^{3}$

$0$

$525 x$

$42 x^{2}$

$0$

解题步骤 6.18

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

						$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
							+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
							-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
									-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
									+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
											-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$

解题步骤 6.19

将被除数中的最高阶项 $- 42 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

						$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$	-	$42$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
							+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
							-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
									-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
									+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
											-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$

解题步骤 6.20

将新的商式项乘以除数。

						$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$	-	$42$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
							+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
							-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
									-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
									+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
											-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$
											-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$

解题步骤 6.21

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 42 x^{2} + 0 - 1050$ 中的所有符号

						$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$	-	$42$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
							+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
							-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
									-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
									+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
											-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$
											+	$42 x^{2}$	-	$0$	+	$1050$

解题步骤 6.22

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$21 x$	-	$42$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$		$3 x^{5}$	+	$6 x^{4}$	+	$54 x^{3}$	+	$108 x^{2}$	-	$525 x$	-	$1050$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$75 x^{3}$
							+	$6 x^{4}$	-	$21 x^{3}$	+	$108 x^{2}$
							-	$6 x^{4}$	-	$0$	-	$150 x^{2}$
									-	$21 x^{3}$	-	$42 x^{2}$	-	$525 x$
									+	$21 x^{3}$	-	$0$	+	$525 x$
											-	$42 x^{2}$	+	$0$	-	$1050$
											+	$42 x^{2}$	-	$0$	+	$1050$
																$0$

解题步骤 6.23

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$3 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x - 42$

解题步骤 6.24

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 3 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 3 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x$

解题步骤 8

初等代数 示例

初等代数示例