初等代数示例

$5 x^{2} - 5 y^{2} - 6$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$5 x^{2} - 5 y^{2} = 6$

解题步骤 1.2

将每一项除以 $6$ 以使方程右边等于一。

$\frac{5 x^{2}}{6} - \frac{5 y^{2}}{6} = \frac{6}{6}$

解题步骤 1.3

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{\frac{6}{5}} - \frac{y^{2}}{\frac{6}{5}} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = \frac{\sqrt{30}}{5}$

$b = \frac{\sqrt{30}}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 ${\sqrt{30}}^{2}$ 重写为 $30$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{30}$ 重写成 $30^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{30^{1}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{30}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{30}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

约去 $30$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $30$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{5 (6)}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{6}{5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

解题步骤 5.3.5

对 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 5.3.6

将 ${\sqrt{30}}^{2}$ 重写为 $30$ 。

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解题步骤 5.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{30}$ 重写成 $30^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 5.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

解题步骤 5.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

解题步骤 5.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

解题步骤 5.3.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{1}}{5^{2}}}$

解题步骤 5.3.6.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{5^{2}}}$

解题步骤 5.3.7

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{25}}$

解题步骤 5.3.8

约去 $30$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.1

从 $30$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 (6)}{25}}$

解题步骤 5.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.8.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}}$

解题步骤 5.3.8.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}}$

解题步骤 5.3.8.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{6}{5}}$

解题步骤 5.3.9

化简表达式。

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解题步骤 5.3.9.1

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{6 + 6}{5}}$

解题步骤 5.3.9.2

将 $6$ 和 $6$ 相加。

$\sqrt{\frac{12}{5}}$

解题步骤 5.3.10

将 $\sqrt{\frac{12}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.11

化简分子。

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解题步骤 5.3.11.1

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.3.11.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.11.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.11.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.12

将 $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.13

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.13.1

将 $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.13.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.13.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 5.3.13.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.3.13.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 5.3.13.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 5.3.13.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.13.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.13.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.13.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.13.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.13.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 5.3.13.6.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5.3.14

化简分子。

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解题步骤 5.3.14.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

解题步骤 5.3.14.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $h$ 中减去 $a$ 求得。

$(h - a, k)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- \frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h \pm a, k)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(\frac{\sqrt{30}}{5}, 0), (- \frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}}{\frac{\sqrt{30}}{5}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.2

对 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.3

将 ${\sqrt{30}}^{2}$ 重写为 $30$ 。

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解题步骤 8.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{30}$ 重写成 $30^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.3.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{30^{1}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.3.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{30}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{30}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.5

约去 $30$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.5.1

从 $30$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{5 (6)}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.5.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.5.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.5.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{6}{5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.6

对 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.7

将 ${\sqrt{30}}^{2}$ 重写为 $30$ 。

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解题步骤 8.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{30}$ 重写成 $30^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.7.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.7.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{1}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.7.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.8

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{25}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.9

约去 $30$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.9.1

从 $30$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 (6)}{25}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.9.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.9.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.9.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{6}{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.10

化简表达式。

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解题步骤 8.3.10.1

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{6 + 6}{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.10.2

将 $6$ 和 $6$ 相加。

$\sqrt{\frac{12}{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.11

将 $\sqrt{\frac{12}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.12

化简分子。

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解题步骤 8.3.12.1

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.3.12.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.12.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.12.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.13

将 $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.14

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.14.1

将 $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.14.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.14.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.14.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.14.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.14.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 8.3.14.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.14.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.14.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.14.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.14.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.14.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.14.6.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.15

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.15.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.15.2

重写表达式。

$2 \sqrt{3} \sqrt{5} \frac{1}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.16

使用根数乘积法则进行合并。

$2 \sqrt{5 \cdot 3} \frac{1}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.17

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$2 \sqrt{15} \frac{1}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.18

组合 $\frac{1}{\sqrt{30}}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{30}} \sqrt{15}$

解题步骤 8.3.19

组合 $\frac{2}{\sqrt{30}}$ 和 $\sqrt{15}$ 。

$\frac{2 \sqrt{15}}{\sqrt{30}}$

解题步骤 8.3.20

把 $\sqrt{15}$ 和 $\sqrt{30}$ 组合为一个单根式。

$2 \sqrt{\frac{15}{30}}$

解题步骤 8.3.21

约去 $15$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.21.1

从 $15$ 中分解出因数 $15$ 。

$2 \sqrt{\frac{15 (1)}{30}}$

解题步骤 8.3.21.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.21.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $15$ 。

$2 \sqrt{\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.21.2.2

约去公因数。

$2 \sqrt{\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.21.2.3

重写表达式。

$2 \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.3.22

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.23

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.24

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$2 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 8.3.25

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.25.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$2 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.25.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.25.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 8.3.25.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.25.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 8.3.25.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.3.25.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.25.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.25.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.25.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.25.6.4.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.25.6.4.2

重写表达式。

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 8.3.25.6.5

计算指数。

$2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.3.26

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.26.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.3.26.2

重写表达式。

$\sqrt{2}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{30}}{5^{2}}}{2 \sqrt{15}}}{5}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{5^{2}}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.2

合并。

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{5^{2}} \cdot 1}{2 \sqrt{15} \cdot 5}$

解题步骤 9.3.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.3.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot 1}{2 \sqrt{15} \cdot 5}$

解题步骤 9.3.3.2

将 $\frac{\sqrt{30}}{25}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{25}}{2 \sqrt{15} \cdot 5}$

解题步骤 9.3.3.3

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{25}}{10 \sqrt{15}}$

解题步骤 9.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{1}{10 \sqrt{15}}$

解题步骤 9.3.5

将 $\frac{1}{10 \sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\frac{\sqrt{30}}{25} (\frac{1}{10 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

解题步骤 9.3.6

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.6.1

将 $\frac{1}{10 \sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 9.3.6.2

移动 $\sqrt{15}$ 。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 (\sqrt{15} \sqrt{15})}$

解题步骤 9.3.6.3

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})}$

解题步骤 9.3.6.4

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})}$

解题步骤 9.3.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 {\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 {\sqrt{15}}^{2}}$

解题步骤 9.3.6.7

将 ${\sqrt{15}}^{2}$ 重写为 $15$ 。

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解题步骤 9.3.6.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{15}$ 重写成 $15^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.6.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.6.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.6.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.6.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.6.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{1}}$

解题步骤 9.3.6.7.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15}$

解题步骤 9.3.7

将 $10$ 乘以 $15$ 。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{150}$

解题步骤 9.3.8

乘以 $\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{150}$ 。

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解题步骤 9.3.8.1

将 $\frac{\sqrt{30}}{25}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{150}$ 。

$\frac{\sqrt{30} \sqrt{15}}{25 \cdot 150}$

解题步骤 9.3.8.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{30 \cdot 15}}{25 \cdot 150}$

解题步骤 9.3.8.3

将 $30$ 乘以 $15$ 。

$\frac{\sqrt{450}}{25 \cdot 150}$

解题步骤 9.3.8.4

将 $25$ 乘以 $150$ 。

$\frac{\sqrt{450}}{3750}$

解题步骤 9.3.9

化简分子。

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解题步骤 9.3.9.1

将 $450$ 重写为 $15^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 9.3.9.1.1

从 $450$ 中分解出因数 $225$ 。

$\frac{\sqrt{225 (2)}}{3750}$

解题步骤 9.3.9.1.2

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{15^{2} \cdot 2}}{3750}$

解题步骤 9.3.9.2

从根式下提出各项。

$\frac{15 \sqrt{2}}{3750}$

解题步骤 9.3.10

约去 $15$ 和 $3750$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.10.1

从 $15 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $15$ 。

$\frac{15 (\sqrt{2})}{3750}$

解题步骤 9.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.10.2.1

从 $3750$ 中分解出因数 $15$ 。

$\frac{15 \sqrt{2}}{15 \cdot 250}$

解题步骤 9.3.10.2.2

约去公因数。

$\frac{15 \sqrt{2}}{15 \cdot 250}$

解题步骤 9.3.10.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2}}{250}$

解题步骤 10

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

解题步骤 11

化简 $1 \cdot x + 0$ 。

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解题步骤 11.1

将 $1 \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$y = 1 \cdot x$

解题步骤 11.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = x$

解题步骤 12

化简 $- 1 \cdot x + 0$ 。

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解题步骤 12.1

将 $- 1 \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$y = - 1 \cdot x$

解题步骤 12.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y = - x$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = x, y = - x$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

顶点： $(\frac{\sqrt{30}}{5}, 0), (- \frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

焦点： $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

离心率： $\sqrt{2}$

焦点参数： $\frac{\sqrt{2}}{250}$

渐近线： $y = x$ ， $y = - x$

解题步骤 15

初等代数 示例

初等代数示例