初等代数示例

$f (x) = \sqrt{e^{x} x}$

解题步骤 1

求 $y = \sqrt{e^{x} x}$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{x e^{x}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x e^{x} \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$e^{x} = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 1.2.3.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 1.2.3.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 1.2.3.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 1.2.4

最终解为使 $x e^{x} \geq 0$ 成立的所有值。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \geq 0$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 2

要求根式端点，请将 $x$ 值 $0$ 代入 $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sqrt{(0) \cdot e^{0}}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

将 $0$ 乘以 $e^{0}$ 。

$f (0) = \sqrt{0}$

解题步骤 2.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (0) = \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 0$

解题步骤 2.2.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3

根式表达式的端点为 $(0, 0)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ 。在本例中，该点为 $(1, \sqrt{e})$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \sqrt{(1) \cdot e^{1}}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $e^{1}$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \sqrt{e}$

解题步骤 4.1.2.2

最终答案为 $\sqrt{e}$ 。

$y = \sqrt{e}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ 。在本例中，该点为 $(2, e \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \sqrt{(2) \cdot e^{2}}$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2$ 和 $e^{2}$ 重新排序。

$f (2) = \sqrt{e^{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2.2

从根式下提出各项。

$f (2) = e \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.2.3

最终答案为 $e \sqrt{2}$ 。

$y = e \sqrt{2}$

解题步骤 4.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(0, 0), (1, 1.65), (2, 3.84)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.65 \\ 2 & 3.84 \end{array}$

解题步骤 5

初等代数 示例

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