初等代数示例

$\frac{x^{2}}{50^{2}} + \frac{y^{2}}{20^{2}} = 1$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

对 $50$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{x^{2}}{2500} + \frac{y^{2}}{20^{2}} = 1$

解题步骤 1.2

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{x^{2}}{2500} + \frac{y^{2}}{400} = 1$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $\frac{x^{2}}{2500}$ 。

$\frac{y^{2}}{400} = 1 - \frac{x^{2}}{2500}$

解题步骤 3

等式两边同时乘以 $400$ 。

$400 \frac{y^{2}}{400} = 400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

化简左边。

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解题步骤 4.1.1

约去 $400$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1

约去公因数。

$400 \frac{y^{2}}{400} = 400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$

解题步骤 4.1.1.2

重写表达式。

$y^{2} = 400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

运用分配律。

$y^{2} = 400 \cdot 1 + 400 (- \frac{x^{2}}{2500})$

解题步骤 4.2.1.2

将 $400$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} = 400 + 400 (- \frac{x^{2}}{2500})$

解题步骤 4.2.1.3

约去 $100$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.3.1

将 $- \frac{x^{2}}{2500}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} = 400 + 400 \frac{- x^{2}}{2500}$

解题步骤 4.2.1.3.2

从 $400$ 中分解出因数 $100$ 。

$y^{2} = 400 + 100 (4) \frac{- x^{2}}{2500}$

解题步骤 4.2.1.3.3

从 $2500$ 中分解出因数 $100$ 。

$y^{2} = 400 + 100 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{100 \cdot 25}$

解题步骤 4.2.1.3.4

约去公因数。

$y^{2} = 400 + 100 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{100 \cdot 25}$

解题步骤 4.2.1.3.5

重写表达式。

$y^{2} = 400 + 4 \frac{- x^{2}}{25}$

解题步骤 4.2.1.4

组合 $4$ 和 $\frac{- x^{2}}{25}$ 。

$y^{2} = 400 + \frac{4 (- x^{2})}{25}$

解题步骤 4.2.1.5

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y^{2} = 400 + \frac{- 4 x^{2}}{25}$

解题步骤 4.2.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = 400 - \frac{4 x^{2}}{25}$

解题步骤 5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{400 - \frac{4 x^{2}}{25}}$

解题步骤 6

化简 $\pm \sqrt{400 - \frac{4 x^{2}}{25}}$ 。

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解题步骤 6.1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 6.1.1

将 $400$ 重写为 $20^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{20^{2} - \frac{4 x^{2}}{25}}$

解题步骤 6.1.2

将 $\frac{4 x^{2}}{25}$ 重写为 ${(\frac{2 x}{5})}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{20^{2} - {(\frac{2 x}{5})}^{2}}$

解题步骤 6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 20$ 和 $b = \frac{2 x}{5}$ 。

$y = \pm \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 7.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 8

要将 $20$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \sqrt{(20 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 9

组合 $20$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \sqrt{(\frac{20 \cdot 5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 10

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt{\frac{20 \cdot 5 + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 11

化简分子。

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解题步骤 11.1

从 $20 \cdot 5 + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 11.1.1

从 $20 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 11.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 11.1.3

从 $2 (10 \cdot 5) + 2 (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 11.2

将 $10$ 乘以 $5$ 。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 12

要将 $20$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 13

组合 $20$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (\frac{20 \cdot 5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 14

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{20 \cdot 5 - 2 x}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 15

化简分子。

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解题步骤 15.1

从 $20 \cdot 5 - 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 15.1.1

从 $20 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) - 2 x}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 15.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 15.1.3

从 $2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 15.2

将 $10$ 乘以 $5$ 。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 16

将 $\frac{2 (50 + x)}{5}$ 乘以 $\frac{2 (50 - x)}{5}$ 。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x) (2 (50 - x))}{5 \cdot 5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 17

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{5 \cdot 5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 18

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$y = \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 19

将 $\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}$ 重写为 ${(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))$ 。

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解题步骤 19.1

从 $4 (50 + x) (50 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{25}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 19.2

从 $25$ 中因式分解出完全幂数 $5^{2}$ 。

$y = \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 19.3

重新整理分数 $\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 20

从根式下提出各项。

$y = \frac{2}{5} \cdot \sqrt{(50 + x) (50 - x)}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 21

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $\sqrt{(50 + x) (50 - x)}$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 22

要将 $20$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{(20 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 23

组合 $20$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{(\frac{20 \cdot 5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 24

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{20 \cdot 5 + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 25

化简分子。

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解题步骤 25.1

从 $20 \cdot 5 + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 25.1.1

从 $20 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 25.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 25.1.3

从 $2 (10 \cdot 5) + 2 (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 25.2

将 $10$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 26

要将 $20$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 27

组合 $20$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (\frac{20 \cdot 5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

解题步骤 28

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{20 \cdot 5 - 2 x}{5}}$

解题步骤 29

化简分子。

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解题步骤 29.1

从 $20 \cdot 5 - 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 29.1.1

从 $20 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) - 2 x}{5}}$

解题步骤 29.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)}{5}}$

解题步骤 29.1.3

从 $2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

解题步骤 29.2

将 $10$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

解题步骤 30

将 $\frac{2 (50 + x)}{5}$ 乘以 $\frac{2 (50 - x)}{5}$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x) (2 (50 - x))}{5 \cdot 5}}$

解题步骤 31

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{5 \cdot 5}}$

解题步骤 32

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}}$

解题步骤 33

将 $\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}$ 重写为 ${(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))$ 。

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解题步骤 33.1

从 $4 (50 + x) (50 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{25}}$

解题步骤 33.2

从 $25$ 中因式分解出完全幂数 $5^{2}$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 33.3

重新整理分数 $\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

解题步骤 34

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - (\frac{2}{5} \cdot \sqrt{(50 + x) (50 - x)})$

解题步骤 35

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $\sqrt{(50 + x) (50 - x)}$ 。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

解题步骤 36

因为已知方程 $y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}, - \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$ 不能写成 $y = k x^{2}$ 的形式，所以 $y$ 不直接随 $x^{2}$ 变化。

$y$ 不直接随 $x$ 的变化而变化

初等代数 示例

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