初等代数示例

$36 x^{2} + 81 y^{2} + 504 x - 324 y - 828 = 0$

解题步骤 1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2

将 $a = 81$ 、 $b = - 324$ 和 $c = 36 x^{2} + 504 x - 828$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{324 \pm \sqrt{{(- 324)}^{2} - 4 \cdot (81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828))}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

对 $- 324$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 4 \cdot 81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 4$ 乘以 $81$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 (36 x^{2}) - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.4

化简。

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解题步骤 3.1.4.1

将 $36$ 乘以 $- 324$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.4.2

将 $504$ 乘以 $- 324$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.4.3

将 $- 324$ 乘以 $- 828$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x + 268272}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.5

将 $104976$ 和 $268272$ 相加。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.6

以因式分解的形式重写 $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

从 $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ 中分解出因数 $11664$ 。

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解题步骤 3.1.6.1.1

从 $- 11664 x^{2}$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.6.1.2

从 $- 163296 x$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 373248}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.6.1.3

从 $373248$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.6.1.4

从 $11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x)$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.6.1.5

从 $11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.6.2

分组因式分解。

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解题步骤 3.1.6.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ 并且它们的和为 $b = - 14$ 。

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解题步骤 3.1.6.2.1.1

从 $- 14 x$ 中分解出因数 $- 14$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.6.2.1.2

把 $- 14$ 重写为 $2$ 加 $- 16$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + (2 - 16) x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.6.2.1.3

运用分配律。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + 2 x - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.1.6.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x^{2} + 2 x) - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.6.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (x (- x + 2) + 16 (- x + 2))}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.6.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + 2$ 来因式分解多项式。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x + 2) (x + 16))}}{2 \cdot 81}$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.7

将 $11664 (- x + 2) (x + 16)$ 重写为 $108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))$ 。

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解题步骤 3.1.7.1

将 $11664$ 重写为 $108^{2}$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.7.3

添加圆括号。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.1.9

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $81$ 。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$

解题步骤 3.3

化简 $\frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$ 。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

解题步骤 4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 324$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 4 \cdot 81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 4$ 乘以 $81$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 (36 x^{2}) - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $36$ 乘以 $- 324$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $504$ 乘以 $- 324$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.4.3

将 $- 324$ 乘以 $- 828$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x + 268272}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.5

将 $104976$ 和 $268272$ 相加。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.6

以因式分解的形式重写 $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ 。

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解题步骤 4.1.6.1

从 $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ 中分解出因数 $11664$ 。

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解题步骤 4.1.6.1.1

从 $- 11664 x^{2}$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.6.1.2

从 $- 163296 x$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 373248}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.6.1.3

从 $373248$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.6.1.4

从 $11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x)$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.6.1.5

从 $11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.6.2

分组因式分解。

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解题步骤 4.1.6.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ 并且它们的和为 $b = - 14$ 。

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解题步骤 4.1.6.2.1.1

从 $- 14 x$ 中分解出因数 $- 14$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.6.2.1.2

把 $- 14$ 重写为 $2$ 加 $- 16$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + (2 - 16) x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.6.2.1.3

运用分配律。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + 2 x - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.1.6.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x^{2} + 2 x) - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.6.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (x (- x + 2) + 16 (- x + 2))}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.6.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + 2$ 来因式分解多项式。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x + 2) (x + 16))}}{2 \cdot 81}$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.7

将 $11664 (- x + 2) (x + 16)$ 重写为 $108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

将 $11664$ 重写为 $108^{2}$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.7.3

添加圆括号。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.1.9

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $81$ 。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$

解题步骤 4.3

化简 $\frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$ 。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

解题步骤 4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{6 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

解题步骤 4.5

从 $6 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 \cdot 3 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

解题步骤 4.5.2

从 $2 \cdot 3 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

解题步骤 5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 324$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 4 \cdot 81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $81$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 (36 x^{2}) - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.4

化简。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $36$ 乘以 $- 324$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.4.2

将 $504$ 乘以 $- 324$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.4.3

将 $- 324$ 乘以 $- 828$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x + 268272}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.5

将 $104976$ 和 $268272$ 相加。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.6

以因式分解的形式重写 $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

从 $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ 中分解出因数 $11664$ 。

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解题步骤 5.1.6.1.1

从 $- 11664 x^{2}$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.6.1.2

从 $- 163296 x$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 373248}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.6.1.3

从 $373248$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.6.1.4

从 $11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x)$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.6.1.5

从 $11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)$ 中分解出因数 $11664$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.6.2

分组因式分解。

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解题步骤 5.1.6.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ 并且它们的和为 $b = - 14$ 。

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解题步骤 5.1.6.2.1.1

从 $- 14 x$ 中分解出因数 $- 14$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.6.2.1.2

把 $- 14$ 重写为 $2$ 加 $- 16$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + (2 - 16) x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.6.2.1.3

运用分配律。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + 2 x - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.1.6.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x^{2} + 2 x) - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.6.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (x (- x + 2) + 16 (- x + 2))}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.6.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + 2$ 来因式分解多项式。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x + 2) (x + 16))}}{2 \cdot 81}$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.7

将 $11664 (- x + 2) (x + 16)$ 重写为 $108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))$ 。

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解题步骤 5.1.7.1

将 $11664$ 重写为 $108^{2}$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.7.3

添加圆括号。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.1.9

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $81$ 。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$

解题步骤 5.3

化简 $\frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$ 。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

解题步骤 5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{6 - 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

解题步骤 5.5

从 $6 - 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (3) - 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

解题步骤 5.5.2

从 $- 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (3) + 2 (- \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

解题步骤 5.5.3

从 $2 (3) + 2 (- \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

解题步骤 6

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{2 (3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

$y = \frac{2 (3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

解题步骤 7

因为已知方程 $y = \frac{2 (3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}, \frac{2 (3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$ 不能写成 $y = k x^{2}$ 的形式，所以 $y$ 不直接随 $x^{2}$ 变化。

$y$ 不直接随 $x$ 的变化而变化

初等代数 示例

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