初等代数示例

$3 x^{2} + y^{2} + 18 x - 2 y + 4 = 0$

解题步骤 1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 3 x^{2} + 18 x + 4$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (3 x^{2}) - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.4

化简。

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解题步骤 3.1.4.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.4.2

将 $18$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.4.3

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.5

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 12 x^{2} - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.6

从 $- 12 x^{2} - 72 x - 12$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.6.2

从 $- 72 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.6.3

从 $- 12$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.6.4

从 $12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.6.5

从 $12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.7

将 $12 (- x^{2} - 6 x - 1)$ 重写为 $2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))$ 。

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解题步骤 3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3) (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.7.3

添加圆括号。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$

解题步骤 3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$ 。

$y = 1 \pm \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

解题步骤 4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (3 x^{2}) - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $18$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4.3

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 12 x^{2} - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6

从 $- 12 x^{2} - 72 x - 12$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 4.1.6.1

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.2

从 $- 72 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.3

从 $- 12$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.4

从 $12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.5

从 $12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.7

将 $12 (- x^{2} - 6 x - 1)$ 重写为 $2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3) (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.7.3

添加圆括号。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$

解题步骤 4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$ 。

$y = 1 \pm \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

解题步骤 4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = 1 + \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

解题步骤 5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (3 x^{2}) - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4

化简。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4.2

将 $18$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4.3

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.5

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 12 x^{2} - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.6

从 $- 12 x^{2} - 72 x - 12$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.6.2

从 $- 72 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.6.3

从 $- 12$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.6.4

从 $12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.6.5

从 $12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.7

将 $12 (- x^{2} - 6 x - 1)$ 重写为 $2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))$ 。

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解题步骤 5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3) (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.7.3

添加圆括号。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$

解题步骤 5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$ 。

$y = 1 \pm \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

解题步骤 5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = 1 - \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

解题步骤 6

最终答案为两个解的组合。

$y = 1 + \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

$y = 1 - \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

解题步骤 7

因为已知方程 $y = 1 + \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}, 1 - \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$ 不能写成 $y = k x^{2}$ 的形式，所以 $y$ 不直接随 $x^{2}$ 变化。

$y$ 不直接随 $x$ 的变化而变化

初等代数 示例

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