初等代数示例

$(- 3, - 3)$ ,

$(- 1, 2)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot - 1 - 3 \cdot 2$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将

$- 3$ 乘以

$- 1$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 3 \cdot 2$

解题步骤 2.2.1.2

将

$- 3$ 乘以

$2$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 6$

解题步骤 2.2.2

从

$3$ 中减去

$6$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3$

解题步骤 3

求

$a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对

$- 3$ 进行

$2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对

$- 3$ 进行

$2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

解题步骤 3.2.3

将

$9$ 和

$9$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

解题步骤 3.2.4

将

$18$ 重写为

$3^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

从

$18$ 中分解出因数

$9$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

解题步骤 3.2.4.2

将

$9$ 重写为

$3^{2}$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.2.5

从根式下提出各项。

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

解题步骤 4

求

$b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

解题步骤 4.2.3

将

$1$ 和

$4$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{- 3}{3 \sqrt{2} \sqrt{5}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去

$- 3$ 和

$3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从

$- 3$ 中分解出因数

$3$ 。

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 \sqrt{2} \sqrt{5}})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从

$3 \sqrt{2} \sqrt{5}$ 中分解出因数

$3$ 。

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 (\sqrt{2} \sqrt{5})})$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 (\sqrt{2} \sqrt{5})})$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \sqrt{5}})$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2 \cdot 5}})$

解题步骤 6.2.2

将

$2$ 乘以

$5$ 。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{10}})$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{10}})$

解题步骤 6.4

将

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}))$

解题步骤 6.5

合并和化简分母。

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解题步骤 6.5.1

将

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})$

解题步骤 6.5.2

对

$\sqrt{10}$ 进行

$1$ 次方运算。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})$

解题步骤 6.5.3

对

$\sqrt{10}$ 进行

$1$ 次方运算。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})$

解题步骤 6.5.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.5.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})$

解题步骤 6.5.6

将

${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为

$10$ 。

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解题步骤 6.5.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{10}$ 重写成

$10^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.5.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.5.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.5.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{1}})$

解题步骤 6.5.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})$

解题步骤 6.6

计算

$\arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})$ 。

$θ = 108.43494882$

初等代数 示例

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