初等代数示例

$(2, - 6)$ , $(5, 0)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 5 - 6 \cdot 0$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 - 6 \cdot 0$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 + 0$

解题步骤 2.2.2

将 $10$ 和 $0$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {(- 6)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(- 6)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 36}$

解题步骤 3.2.3

将 $4$ 和 $36$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{40}$

解题步骤 3.2.4

将 $40$ 重写为 $2^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

从 $40$ 中分解出因数 $4$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{4 (10)}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

解题步骤 3.2.5

从根式下提出各项。

$| a⃗ | = 2 \sqrt{10}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 0^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 0^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 0}$

解题步骤 4.2.3

将 $25$ 和 $0$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{25}$

解题步骤 4.2.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 4.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| b⃗ | = 5$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{10}{2 \sqrt{10} \cdot 5})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 5}{2 \sqrt{10} \cdot 5})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $2 \sqrt{10} \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 5}{2 (\sqrt{10} \cdot 5)})$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 5}{2 (\sqrt{10} \cdot 5)})$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{5}{\sqrt{10} \cdot 5})$

解题步骤 6.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{5}{\sqrt{10} \cdot 5})$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{10}})$

解题步骤 6.3

将 $\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

解题步骤 6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})$

解题步骤 6.4.2

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})$

解题步骤 6.4.3

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})$

解题步骤 6.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})$

解题步骤 6.4.6

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 6.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{10^{1}})$

解题步骤 6.4.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{10})$

解题步骤 6.5

计算 $\arccos (\frac{\sqrt{10}}{10})$ 。

$θ = 71.56505117$

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