初等代数示例

$(10, - 9)$ , $(13, - 5)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 \cdot 13 - 9 \cdot - 5$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $10$ 乘以 $13$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 130 - 9 \cdot - 5$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 9$ 乘以 $- 5$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 130 + 45$

解题步骤 2.2.2

将 $130$ 和 $45$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = 175$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2} + {(- 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{100 + {(- 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $- 9$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 81}$

解题步骤 3.2.3

将 $100$ 和 $81$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{181}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{13^{2} + {(- 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{169 + {(- 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{169 + 25}$

解题步骤 4.2.3

将 $169$ 和 $25$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{194}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{175}{\sqrt{181} \sqrt{194}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arccos (\frac{175}{\sqrt{181 \cdot 194}})$

解题步骤 6.1.2

将 $181$ 乘以 $194$ 。

$θ = \arccos (\frac{175}{\sqrt{35114}})$

解题步骤 6.2

将 $\frac{175}{\sqrt{35114}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{35114}}{\sqrt{35114}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{175}{\sqrt{35114}} \cdot \frac{\sqrt{35114}}{\sqrt{35114}})$

解题步骤 6.3

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{175}{\sqrt{35114}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{35114}}{\sqrt{35114}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{\sqrt{35114} \sqrt{35114}})$

解题步骤 6.3.2

对 $\sqrt{35114}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{\sqrt{35114}}^{1} \sqrt{35114}})$

解题步骤 6.3.3

对 $\sqrt{35114}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{\sqrt{35114}}^{1} {\sqrt{35114}}^{1}})$

解题步骤 6.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{\sqrt{35114}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{\sqrt{35114}}^{2}})$

解题步骤 6.3.6

将 ${\sqrt{35114}}^{2}$ 重写为 $35114$ 。

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解题步骤 6.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{35114}$ 重写成 $35114^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{(35114^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.3.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114^{1}})$

解题步骤 6.3.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114})$

解题步骤 6.4

计算 $\arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114})$ 。

$θ = 20.94970147$

初等代数 示例

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