初等代数示例

$(10, 7)$ , $(- 2, 1)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 \cdot - 2 + 7 \cdot 1$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $10$ 乘以 $- 2$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20 + 7 \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20 + 7$

解题步骤 2.2.2

将 $- 20$ 和 $7$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 13$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2} + 7^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 7^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 49}$

解题步骤 3.2.3

将 $100$ 和 $49$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{149}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

解题步骤 4.2.2

一的任意次幂都为一。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

解题步骤 4.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{149} \sqrt{5}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{149 \cdot 5}})$

解题步骤 6.1.2

将 $149$ 乘以 $5$ 。

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{745}})$

解题步骤 6.2

将负号移到分数的前面。

$θ = \arccos (- \frac{13}{\sqrt{745}})$

解题步骤 6.3

将 $\frac{13}{\sqrt{745}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{745}}{\sqrt{745}}$ 。

$θ = \arccos (- (\frac{13}{\sqrt{745}} \cdot \frac{\sqrt{745}}{\sqrt{745}}))$

解题步骤 6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{13}{\sqrt{745}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{745}}{\sqrt{745}}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{\sqrt{745} \sqrt{745}})$

解题步骤 6.4.2

对 $\sqrt{745}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{1} \sqrt{745}})$

解题步骤 6.4.3

对 $\sqrt{745}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{1} {\sqrt{745}}^{1}})$

解题步骤 6.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{2}})$

解题步骤 6.4.6

将 ${\sqrt{745}}^{2}$ 重写为 $745$ 。

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解题步骤 6.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{745}$ 重写成 $745^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{(745^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{1}})$

解题步骤 6.4.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745})$

解题步骤 6.5

计算 $\arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745})$ 。

$θ = 118.44292862$

初等代数 示例

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