初等代数示例

$(1, 2.22)$ , $(2, 3.32)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 2 + 2.22 \cdot 3.32$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 2.22 \cdot 3.32$

解题步骤 2.2.1.2

将 $2.22$ 乘以 $3.32$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 7.3704$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 和 $7.3704$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = 9.3704$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {2.22}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

一的任意次幂都为一。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {2.22}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $2.22$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4.9284}$

解题步骤 3.2.3

将 $1$ 和 $4.9284$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{5.9284}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + {3.32}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {3.32}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $3.32$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 11.0224}$

解题步骤 4.2.3

将 $4$ 和 $11.0224$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{15.0224}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{9.3704}{\sqrt{5.9284} \sqrt{15.0224}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arccos (\frac{9.3704}{\sqrt{5.9284 \cdot 15.0224}})$

解题步骤 6.1.2

将 $5.9284$ 乘以 $15.0224$ 。

$θ = \arccos (\frac{9.3704}{\sqrt{89.05879616}})$

解题步骤 6.2

将 $\frac{9.3704}{\sqrt{89.05879616}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{89.05879616}}{\sqrt{89.05879616}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{9.3704}{\sqrt{89.05879616}} \cdot \frac{\sqrt{89.05879616}}{\sqrt{89.05879616}})$

解题步骤 6.3

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{9.3704}{\sqrt{89.05879616}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{89.05879616}}{\sqrt{89.05879616}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{\sqrt{89.05879616} \sqrt{89.05879616}})$

解题步骤 6.3.2

对 $\sqrt{89.05879616}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{\sqrt{89.05879616}}^{1} \sqrt{89.05879616}})$

解题步骤 6.3.3

对 $\sqrt{89.05879616}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{\sqrt{89.05879616}}^{1} {\sqrt{89.05879616}}^{1}})$

解题步骤 6.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{\sqrt{89.05879616}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{\sqrt{89.05879616}}^{2}})$

解题步骤 6.3.6

将 ${\sqrt{89.05879616}}^{2}$ 重写为 $89.05879616$ 。

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解题步骤 6.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{89.05879616}$ 重写成 ${89.05879616}^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{({89.05879616}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{89.05879616}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{89.05879616}^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{89.05879616}^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.3.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{89.05879616}^{1}})$

解题步骤 6.3.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{89.05879616})$

解题步骤 6.4

将 $9.3704$ 乘以 $\sqrt{89.05879616}$ 。

$θ = \arccos (\frac{88.42937192}{89.05879616})$

解题步骤 6.5

用 $88.42937192$ 除以 $89.05879616$ 。

$θ = \arccos (0.99293248)$

解题步骤 6.6

计算 $\arccos (0.99293248)$ 。

$θ = 6.81596047$

初等代数 示例

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