初等代数示例

$(- 1, 1)$ , $(0, - 1)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 0 + 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 1$

解题步骤 2.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1^{2}}$

解题步骤 3.2.2

一的任意次幂都为一。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1}$

解题步骤 3.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{2}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 1}$

解题步骤 4.2.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{1}$

解题步骤 4.2.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| b⃗ | = 1$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去 $- 1$ 和 $1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$θ = \arccos (\frac{- 1 (1)}{\sqrt{2} \cdot 1})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{- 1 \cdot 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

解题步骤 6.1.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2}})$

解题步骤 6.2

将负号移到分数的前面。

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

解题步骤 6.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

解题步骤 6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

解题步骤 6.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

解题步骤 6.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

解题步骤 6.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

解题步骤 6.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

解题步骤 6.4.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 6.5

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $135$ 。

$θ = 135$

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