初等代数示例

$(\frac{1}{5}, 3)$ , $(\frac{1}{5}, 0)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot 0$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

乘以 $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5 \cdot 5} + 3 \cdot 0$

解题步骤 2.2.1.1.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 3 \cdot 0$

解题步骤 2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 0$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{25}$ 和 $0$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25}$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 3^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 3^{2}}$

解题步骤 3.2.2

一的任意次幂都为一。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 3^{2}}$

解题步骤 3.2.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 3^{2}}$

解题步骤 3.2.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9}$

解题步骤 3.2.5

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9 \cdot \frac{25}{25}}$

解题步骤 3.2.6

组合 $9$ 和 $\frac{25}{25}$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{9 \cdot 25}{25}}$

解题步骤 3.2.7

在公分母上合并分子。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 9 \cdot 25}{25}}$

解题步骤 3.2.8

化简分子。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $9$ 乘以 $25$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 225}{25}}$

解题步骤 3.2.8.2

将 $1$ 和 $225$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{226}{25}}$

解题步骤 3.2.9

将 $\sqrt{\frac{226}{25}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$ 。

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 3.2.10

化简分母。

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解题步骤 3.2.10.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 3.2.10.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{5}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 0^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 0^{2}}$

解题步骤 4.2.2

一的任意次幂都为一。

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 0^{2}}$

解题步骤 4.2.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0^{2}}$

解题步骤 4.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0}$

解题步骤 4.2.5

将 $\frac{1}{25}$ 和 $0$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25}}$

解题步骤 4.2.6

将 $\sqrt{\frac{1}{25}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ 。

$| b⃗ | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 4.2.7

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{25}}$

解题步骤 4.2.8

化简分母。

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解题步骤 4.2.8.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 4.2.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| b⃗ | = \frac{1}{5}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{\frac{1}{25}}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

解题步骤 6.2

将 $\frac{\sqrt{226}}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5 \cdot 5}})$

解题步骤 6.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{25}})$

解题步骤 6.4

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \arccos (\frac{1}{25} (1 \frac{25}{\sqrt{226}}))$

解题步骤 6.5

将 $\frac{25}{\sqrt{226}}$ 乘以 $1$ 。

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

解题步骤 6.6

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

解题步骤 6.6.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}})$

解题步骤 6.7

将 $\frac{1}{\sqrt{226}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}} \cdot \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}})$

解题步骤 6.8

合并和化简分母。

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解题步骤 6.8.1

将 $\frac{1}{\sqrt{226}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226} \sqrt{226}})$

解题步骤 6.8.2

对 $\sqrt{226}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} \sqrt{226}})$

解题步骤 6.8.3

对 $\sqrt{226}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} {\sqrt{226}}^{1}})$

解题步骤 6.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{2}})$

解题步骤 6.8.6

将 ${\sqrt{226}}^{2}$ 重写为 $226$ 。

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解题步骤 6.8.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{226}$ 重写成 $226^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{(226^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.8.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.8.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.8.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.8.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{1}})$

解题步骤 6.8.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$

解题步骤 6.9

计算 $\arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$ 。

$θ = 86.18592516$

初等代数 示例

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