初等代数示例

${(a - b)}^{3}$ , $a^{3} - b^{3}$ , $a^{2} - b^{2}$

解题步骤 1

重新组合项。

${(a - b)}^{3} + a^{3} - b^{3} + a^{2} - b^{2}$

解题步骤 2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = b$ 。

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + a^{2} - b^{2}$

解题步骤 3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = b$ 。

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a + b) (a - b)$

解题步骤 4

从 $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a + b) (a - b)$ 中分解出因数 $a - b$ 。

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解题步骤 4.1

从 $(a + b) (a - b)$ 中分解出因数 $a - b$ 。

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a - b) (a + b)$

解题步骤 4.2

从 $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a - b) (a + b)$ 中分解出因数 $a - b$ 。

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 5

从 ${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$ 中分解出因数 $a - b$ 。

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解题步骤 5.1

从 ${(a - b)}^{3}$ 中分解出因数 $a - b$ 。

$(a - b) {(a - b)}^{2} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 5.2

从 $(a - b) {(a - b)}^{2} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$ 中分解出因数 $a - b$ 。

$(a - b) ({(a - b)}^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 6

将 ${(a - b)}^{2}$ 重写为 $(a - b) (a - b)$ 。

$(a - b) ((a - b) (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 7

使用 FOIL 方法展开 $(a - b) (a - b)$ 。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$(a - b) (a (a - b) - b (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$(a - b) (a \cdot a + a (- b) - b (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$(a - b) (a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 8

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$(a - b) (a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 8.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 8.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 8.1.4

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 8.1.4.1

移动 $b$ 。

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 8.1.4.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 8.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(a - b) (a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 8.1.6

将 $b^{2}$ 乘以 $1$ 。

$(a - b) (a^{2} - a b - b a + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 8.2

从 $- a b$ 中减去 $b a$ 。

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解题步骤 8.2.1

移动 $b$ 。

$(a - b) (a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 8.2.2

从 $- a b$ 中减去 $a b$ 。

$(a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 9

将 $a^{2}$ 和 $a^{2}$ 相加。

$(a - b) (2 a^{2} - 2 a b + b^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 10

将 $- 2 a b$ 和 $a b$ 相加。

$(a - b) (2 a^{2} + b^{2} - a b + b^{2} + a + b)$

解题步骤 11

将 $b^{2}$ 和 $b^{2}$ 相加。

$(a - b) (2 a^{2} + 2 b^{2} - a b + a + b)$

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