初等代数示例

$2 \sqrt[3]{x - 1} = \sqrt[3]{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(2 \sqrt[3]{x - 1})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$2^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

解题步骤 2.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

解题步骤 2.2.1.3

将 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

解题步骤 2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$8 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

解题步骤 2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$8 {(x - 1)}^{1} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

解题步骤 2.2.1.4

化简。

$8 (x - 1) = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

解题步骤 2.2.1.5

运用分配律。

$8 x + 8 \cdot - 1 = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

解题步骤 2.2.1.6

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x \cdot x + 2 x}}^{3}$

解题步骤 2.3.1.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x \cdot x + x \cdot 2}}^{3}$

解题步骤 2.3.1.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x (x + 2)}}^{3}$

解题步骤 2.3.1.2

将 ${\sqrt[3]{x (x + 2)}}^{3}$ 重写为 $x (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x (x + 2)}$ 重写成 ${(x (x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$8 x - 8 = {({(x (x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{3}{3}}$

解题步骤 2.3.1.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.4.1

约去公因数。

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{3}{3}}$

解题步骤 2.3.1.2.4.2

重写表达式。

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{1}$

解题步骤 2.3.1.2.5

化简。

$8 x - 8 = x (x + 2)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$8 x - 8 = x \cdot x + x \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$8 x - 8 = x^{2} + x \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.4.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$8 x - 8 = x^{2} + 2 x$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} + 2 x = 8 x - 8$

解题步骤 3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $8 x$ 。

$x^{2} + 2 x - 8 x = - 8$

解题步骤 3.2.2

从 $2 x$ 中减去 $8 x$ 。

$x^{2} - 6 x = - 8$

解题步骤 3.3

在等式两边都加上 $8$ 。

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

解题步骤 3.4

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 6$ 。

$- 4, - 2$

解题步骤 3.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 4) (x - 2) = 0$

解题步骤 3.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.6

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 3.7

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.7.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.8

最终解为使 $(x - 4) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, 2$

初等代数 示例

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