初等代数示例

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{2 - 11 x + 28}}{x^{2 - x - 42}}}$

解题步骤 1

约去 $x^{2 - 11 x + 28}$ 和 $x^{2 - x - 42}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $x^{2 - 11 x + 28}$ 中分解出因数 $x^{2 - x - 42}$ 。

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{2 - x - 42} x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}{x^{2 - x - 42}}}$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{2 - x - 42} x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}{x^{2 - x - 42} \cdot 1}}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{2 - x - 42} x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}{x^{2 - x - 42} \cdot 1}}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}{1}}$

解题步骤 1.2.4

用 $x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

把 $8$ 重写为 $9$ 加 $- 1$

$\frac{9 - 1 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 3.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 3.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

解题步骤 3.2.3

重写多项式。

$\frac{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 3.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{9 - {(1 - x)}^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 3.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 3.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3$ 和 $b = 1 - x$ 。

$\frac{(3 + 1 - x) (3 - (1 - x))}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(4 - x) (3 - (1 - x))}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 3.5.2

运用分配律。

$\frac{(4 - x) (3 - 1 \cdot 1 - - x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(4 - x) (3 - 1 - - x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 3.5.4

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(4 - x) (3 - 1 + 1 x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 3.5.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(4 - x) (3 - 1 + x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 3.5.5

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{(4 - x) (2 + x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 4

将 $2$ 和 $10$ 相加。

$\frac{(4 - x) (2 + x)}{x^{7 x + 12}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 5

合并。

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12} x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 6

通过指数相加将 $x^{7 x + 12}$ 乘以 $x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}$ 。

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解题步骤 6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

解题步骤 6.2

从 $2$ 中减去 $42$ 。

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 - (- x - 40)}}$

解题步骤 6.3

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1

运用分配律。

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 - - x - - 40}}$

解题步骤 6.3.2

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 + 1 x - - 40}}$

解题步骤 6.3.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 + x - - 40}}$

解题步骤 6.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 40$ 。

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 + x + 40}}$

解题步骤 6.4

将 $- 11 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 10 x + 30 + 40}}$

解题步骤 6.5

将 $30$ 和 $40$ 相加。

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 10 x + 70}}$

解题步骤 6.6

从 $7 x$ 中减去 $10 x$ 。

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{- 3 x + 12 + 70}}$

解题步骤 6.7

将 $12$ 和 $70$ 相加。

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 7

将 $(4 - x) (2 + x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(4 - x) (2 + x)}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 8

使用 FOIL 方法展开 $(4 - x) (2 + x)$ 。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{4 (2 + x) - x (2 + x)}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{4 \cdot 2 + 4 x - x (2 + x)}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$\frac{4 \cdot 2 + 4 x - x \cdot 2 - x \cdot x}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 9

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 + 4 x - x \cdot 2 - x \cdot x}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 9.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8 + 4 x - 2 x - x \cdot x}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 9.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{8 + 4 x - 2 x - (x \cdot x)}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 9.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{8 + 4 x - 2 x - x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 9.2

从 $4 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 10

分解分数 $\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$ 成为两个分数。

$\frac{8 + 2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{- x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 11

分解分数 $\frac{8 + 2 x}{x^{- 3 x + 82}}$ 成为两个分数。

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{- x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 12

约去 $x^{2}$ 和 $x^{- 3 x + 82}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{- 3 x + 82}$ 。

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{x^{- 3 x + 82} (- x^{2 - (- 3 x + 82)})}{x^{- 3 x + 82}}$

解题步骤 12.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{x^{- 3 x + 82} (- x^{2 - (- 3 x + 82)})}{x^{- 3 x + 82} \cdot 1}$

解题步骤 12.2.2

约去公因数。

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{x^{- 3 x + 82} (- x^{2 - (- 3 x + 82)})}{x^{- 3 x + 82} \cdot 1}$

解题步骤 12.2.3

重写表达式。

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{- x^{2 - (- 3 x + 82)}}{1}$

解题步骤 12.2.4

用 $- x^{2 - (- 3 x + 82)}$ 除以 $1$ 。

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{2 - (- 3 x + 82)}$

解题步骤 13

化简每一项。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{2 - (- 3 x) - 1 \cdot 82}$

解题步骤 13.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{2 + 3 x - 1 \cdot 82}$

解题步骤 13.3

将 $- 1$ 乘以 $82$ 。

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{2 + 3 x - 82}$

解题步骤 14

从 $2$ 中减去 $82$ 。

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{3 x - 80}$

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