初等代数示例

$(2^{x}) (3^{y}) (5^{z}) = (2^{3}) (3^{x - 2}) (5^{2 x - 3 y})$

解题步骤 1

将 $2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z} = 2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}$ 中的每一项除以 $2^{x} \cdot 3^{y}$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z} = 2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}$ 中的每一项都除以 $2^{x} \cdot 3^{y}$ 。

$\frac{2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z}}{2^{x} \cdot 3^{y}} = \frac{2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $2^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z}}{2^{x} \cdot 3^{y}} = \frac{2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

解题步骤 1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{3^{y} \cdot 5^{z}}{3^{y}} = \frac{2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

解题步骤 1.2.2

约去 $3^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{3^{y} \cdot 5^{z}}{3^{y}} = \frac{2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

解题步骤 1.2.2.2

用 $5^{z}$ 除以 $1$ 。

$5^{z} = \frac{2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

约去 $2^{3}$ 和 $2^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}$ 中分解出因数 $2^{x}$ 。

$5^{z} = \frac{2^{x} (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y})}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

解题步骤 1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.1.2.1

从 $2^{x} \cdot 3^{y}$ 中分解出因数 $2^{x}$ 。

$5^{z} = \frac{2^{x} (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y})}{2^{x} (3^{y})}$

解题步骤 1.3.1.2.2

约去公因数。

$5^{z} = \frac{2^{x} (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y})}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

解题步骤 1.3.1.2.3

重写表达式。

$5^{z} = \frac{2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{3^{y}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $3^{x - 2}$ 和 $3^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}$ 中分解出因数 $3^{y}$ 。

$5^{z} = \frac{3^{y} (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y})}{3^{y}}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

乘以 $1$ 。

$5^{z} = \frac{3^{y} (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y})}{3^{y} \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2.2

约去公因数。

$5^{z} = \frac{3^{y} (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y})}{3^{y} \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2.3

重写表达式。

$5^{z} = \frac{2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{1}$

解题步骤 1.3.2.2.4

用 $2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y}$ 除以 $1$ 。

$5^{z} = 2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y}$

解题步骤 2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (5^{z}) = \ln (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y})$

解题步骤 3

通过将 $z$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{z})$ 。

$z \ln (5) = \ln (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y})$

解题步骤 4

展开右边。

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解题步骤 4.1

将 $\ln (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y})$ 重写为 $\ln (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y}) + \ln (5^{2 x - 3 y})$ 。

$z \ln (5) = \ln (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y}) + \ln (5^{2 x - 3 y})$

解题步骤 4.2

将 $\ln (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y})$ 重写为 $\ln (2^{3 - x}) + \ln (3^{x - 2 - y})$ 。

$z \ln (5) = \ln (2^{3 - x}) + \ln (3^{x - 2 - y}) + \ln (5^{2 x - 3 y})$

解题步骤 4.3

通过将 $3 - x$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{3 - x})$ 。

$z \ln (5) = (3 - x) \ln (2) + \ln (3^{x - 2 - y}) + \ln (5^{2 x - 3 y})$

解题步骤 4.4

通过将 $x - 2 - y$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{x - 2 - y})$ 。

$z \ln (5) = (3 - x) \ln (2) + (x - 2 - y) \ln (3) + \ln (5^{2 x - 3 y})$

解题步骤 4.5

通过将 $2 x - 3 y$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{2 x - 3 y})$ 。

$z \ln (5) = (3 - x) \ln (2) + (x - 2 - y) \ln (3) + (2 x - 3 y) \ln (5)$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$z \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + (x - 2 - y) \ln (3) + (2 x - 3 y) \ln (5)$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$z \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3) + (2 x - 3 y) \ln (5)$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$z \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3) + 2 x \ln (5) - 3 y \ln (5)$

解题步骤 6

将所有包含对数的项移到等式左边。

$z \ln (5) - 3 \ln (2) + x \ln (2) - x \ln (3) + 2 \ln (3) + y \ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 y \ln (5) = 0$

解题步骤 7

将所有不包含 $z$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.1

在等式两边都加上 $3 \ln (2)$ 。

$z \ln (5) + x \ln (2) - x \ln (3) + 2 \ln (3) + y \ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 y \ln (5) = 3 \ln (2)$

解题步骤 7.2

从等式两边同时减去 $x \ln (2)$ 。

$z \ln (5) - x \ln (3) + 2 \ln (3) + y \ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 y \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2)$

解题步骤 7.3

在等式两边都加上 $x \ln (3)$ 。

$z \ln (5) + 2 \ln (3) + y \ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 y \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3)$

解题步骤 7.4

从等式两边同时减去 $2 \ln (3)$ 。

$z \ln (5) + y \ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 y \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3)$

解题步骤 7.5

从等式两边同时减去 $y \ln (3)$ 。

$z \ln (5) - 2 x \ln (5) + 3 y \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3)$

解题步骤 7.6

在等式两边都加上 $2 x \ln (5)$ 。

$z \ln (5) + 3 y \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3) + 2 x \ln (5)$

解题步骤 7.7

从等式两边同时减去 $3 y \ln (5)$ 。

$z \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3) + 2 x \ln (5) - 3 y \ln (5)$

解题步骤 8

将 $z \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3) + 2 x \ln (5) - 3 y \ln (5)$ 中的每一项除以 $\ln (5)$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $z \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3) + 2 x \ln (5) - 3 y \ln (5)$ 中的每一项都除以 $\ln (5)$ 。

$\frac{z \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{- x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- y \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{2 x \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $\ln (5)$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 8.2.1.2

用 $z$ 除以 $1$ 。

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{- x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- y \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{2 x \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} - \frac{x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- y \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{2 x \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

解题步骤 8.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} - \frac{x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{2 \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- y \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{2 x \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

解题步骤 8.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} - \frac{x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{2 \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{y \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{2 x \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

解题步骤 8.3.1.4

约去 $\ln (5)$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.4.1

约去公因数。

解题步骤 8.3.1.4.2

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} - \frac{x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{2 \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{y \ln (3)}{\ln (5)} + 2 x + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

解题步骤 8.3.1.5

约去 $\ln (5)$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.5.1

约去公因数。

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} - \frac{x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{2 \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{y \ln (3)}{\ln (5)} + 2 x + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

解题步骤 8.3.1.5.2

用 $- 3 y$ 除以 $1$ 。

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} - \frac{x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{2 \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{y \ln (3)}{\ln (5)} + 2 x - 3 y$

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