初等代数示例

$2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3 = 0$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

解题步骤 1.3

代入 $0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $0.5$ 代入多项式。

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

解题步骤 1.3.2

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $0.125$ 。

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

解题步骤 1.3.4

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.25 + 5 \cdot 0.25 + 3 \cdot 0.5 - 3$

解题步骤 1.3.5

将 $5$ 乘以 $0.25$ 。

$0.25 + 1.25 + 3 \cdot 0.5 - 3$

解题步骤 1.3.6

将 $0.25$ 和 $1.25$ 相加。

$1.5 + 3 \cdot 0.5 - 3$

解题步骤 1.3.7

将 $3$ 乘以 $0.5$ 。

$1.5 + 1.5 - 3$

解题步骤 1.3.8

将 $1.5$ 和 $1.5$ 相加。

$3 - 3$

解题步骤 1.3.9

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3}{2 x - 1}$

解题步骤 1.5

用 $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ 除以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$3$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $6 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x^{2} - 3 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $6 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							+	$6 x$	-	$3$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x - 3$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							-	$6 x$	+	$3$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							-	$6 x$	+	$3$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 3 x + 3$

解题步骤 1.6

将 $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ 书写为因数的集合。

$(2 x - 1) (x^{2} + 3 x + 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

解题步骤 3

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 3.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 4

将 $x^{2} + 3 x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{2} + 3 x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 3$ 和 $c = 3$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3

化简。

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解题步骤 4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.3

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5

最终解为使 $(2 x - 1) (x^{2} + 3 x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

初等代数 示例

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