初等代数示例

$x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10$ 。

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解题步骤 1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

解题步骤 1.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 10$

解题步骤 1.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 + 4 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 10$

解题步骤 1.1.3.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 + 4 \cdot 1 - 7 \cdot - 1 - 10$

解题步骤 1.1.3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 4 - 7 \cdot - 1 - 10$

解题步骤 1.1.3.5

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$3 - 7 \cdot - 1 - 10$

解题步骤 1.1.3.6

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$3 + 7 - 10$

解题步骤 1.1.3.7

将 $3$ 和 $7$ 相加。

$10 - 10$

解题步骤 1.1.3.8

从 $10$ 中减去 $10$ 。

$0$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10}{x + 1}$

解题步骤 1.1.5

用 $x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$10$

解题步骤 1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$

解题步骤 1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

解题步骤 1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$7 x$

解题步骤 1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$7 x$

解题步骤 1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{2} + 3 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$

解题步骤 1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	-	$10$

解题步骤 1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 10 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	-	$10$

解题步骤 1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	-	$10$
							-	$10 x$	-	$10$

解题步骤 1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 10 x - 10$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	-	$10$
							+	$10 x$	+	$10$

解题步骤 1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	-	$10$
							+	$10 x$	+	$10$
										$0$

解题步骤 1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 3 x - 10$

解题步骤 1.1.6

将 $x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10$ 书写为因数的集合。

$(x + 1) (x^{2} + 3 x - 10) = 0$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x - 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x - 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 10$ ，和为 $3$ 。

$- 2, 5$

解题步骤 1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 1) ((x - 2) (x + 5)) = 0$

解题步骤 1.2.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x - 2) (x + 5) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 5

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 6

最终解为使 $(x + 1) (x - 2) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 2, - 5$

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