初等代数示例

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $e^{2 x}$ 重写为 ${(e^{x})}^{2}$ 。

${(e^{x})}^{2} + 2 e^{x} - 15 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = e^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $e^{x}$ 。

$u^{2} + 2 u - 15 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} + 2 u - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $2$ 。

$- 3, 5$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 3) (u + 5) = 0$

$(u - 3) (u + 5) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(e^{x} - 3) (e^{x} + 5) = 0$

$(e^{x} - 3) (e^{x} + 5) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} - 3 = 0$

$e^{x} + 5 = 0$

解题步骤 3

将 $e^{x} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $e^{x} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} - 3 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $e^{x} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$e^{x} = 3$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

解题步骤 3.2.3

展开左边。

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解题步骤 3.2.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (3)$

解题步骤 3.2.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (3)$

解题步骤 3.2.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (3)$

$x = \ln (3)$

$x = \ln (3)$

$x = \ln (3)$

解题步骤 4

将 $e^{x} + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $e^{x} + 5$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} + 5 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $e^{x} + 5 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$e^{x} = - 5$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 5)$

解题步骤 4.2.3

因为 $\ln (- 5)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 4.2.4

$e^{x} = - 5$ 无解

无解

无解

无解

解题步骤 5

最终解为使 $(e^{x} - 3) (e^{x} + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = \ln (3)$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \ln (3)$

小数形式：

$x = 1.09861228 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$