初等代数示例

$8 x^{\frac{1}{3}} = x^{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 1

通过对两个指数乘以最小公倍数消去分数指数。

${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

解题步骤 2

化简 ${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.1

对 $8 x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$8^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

解题步骤 2.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$512 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

解题步骤 2.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

约去公因数。

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

解题步骤 2.3.2.2

重写表达式。

$512 x^{1} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

解题步骤 2.4

化简。

$512 x = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

解题步骤 3

化简 ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.1

将 ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$512 x = x^{- \frac{2}{3} \cdot 3}$

解题步骤 3.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $- \frac{2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

解题步骤 3.1.2.2

约去公因数。

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

解题步骤 3.1.2.3

重写表达式。

$512 x = x^{- 2}$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$512 x = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 4.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{2}$

解题步骤 4.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 5

将 $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.1

将 $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$512 x \cdot x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$512 (x^{2} x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$512 (x^{2} x^{1}) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$512 x^{2 + 1} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1

约去公因数。

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 5.3.1.2

重写表达式。

$512 x^{3} = 1$

解题步骤 6

求解方程。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$512 x^{3} - 1 = 0$

解题步骤 6.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1

将 $512 x^{3}$ 重写为 ${(8 x)}^{3}$ 。

${(8 x)}^{3} - 1 = 0$

解题步骤 6.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

${(8 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

解题步骤 6.2.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 8 x$ 和 $b = 1$ 。

$(8 x - 1) ({(8 x)}^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 6.2.4

化简。

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解题步骤 6.2.4.1

对 $8 x$ 运用乘积法则。

$(8 x - 1) (8^{2} x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 6.2.4.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 6.2.4.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1^{2}) = 0$

解题步骤 6.2.4.4

一的任意次幂都为一。

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$8 x - 1 = 0$

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

解题步骤 6.4

将 $8 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $8 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$8 x - 1 = 0$

解题步骤 6.4.2

求解 $x$ 的 $8 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$8 x = 1$

解题步骤 6.4.2.2

将 $8 x = 1$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 6.4.2.2.1

将 $8 x = 1$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

解题步骤 6.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

解题步骤 6.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{8}$

解题步骤 6.5

将 $64 x^{2} + 8 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $64 x^{2} + 8 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

解题步骤 6.5.2

求解 $x$ 的 $64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.5.2.2

将 $a = 64$ 、 $b = 8$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 6.5.2.3

化简。

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解题步骤 6.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 6.5.2.3.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 6.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $64$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 6.5.2.3.1.2.2

将 $- 256$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 6.5.2.3.1.3

从 $64$ 中减去 $256$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 6.5.2.3.1.4

将 $- 192$ 重写为 $- 1 (192)$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 6.5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (192)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 6.5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 6.5.2.3.1.7

将 $192$ 重写为 $8^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.5.2.3.1.7.1

从 $192$ 中分解出因数 $64$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 6.5.2.3.1.7.2

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 6.5.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 64}$

解题步骤 6.5.2.3.1.9

将 $8$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 64}$

解题步骤 6.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$

解题步骤 6.5.2.3.3

化简 $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{16}$

解题步骤 6.5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$

解题步骤 6.6

最终解为使 $(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{8}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$

初等代数 示例

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