初等代数示例

$2 v^{2} + 20 v + 51 = {(v + 6)}^{2}$

解题步骤 1

化简 ${(v + 6)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

重写。

$2 v^{2} + 20 v + 51 = 0 + 0 + {(v + 6)}^{2}$

解题步骤 1.2

将 ${(v + 6)}^{2}$ 重写为 $(v + 6) (v + 6)$ 。

$2 v^{2} + 20 v + 51 = (v + 6) (v + 6)$

解题步骤 1.3

使用 FOIL 方法展开 $(v + 6) (v + 6)$ 。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$2 v^{2} + 20 v + 51 = v (v + 6) + 6 (v + 6)$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$2 v^{2} + 20 v + 51 = v \cdot v + v \cdot 6 + 6 (v + 6)$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$2 v^{2} + 20 v + 51 = v \cdot v + v \cdot 6 + 6 v + 6 \cdot 6$

解题步骤 1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$2 v^{2} + 20 v + 51 = v^{2} + v \cdot 6 + 6 v + 6 \cdot 6$

解题步骤 1.4.1.2

将 $6$ 移到 $v$ 的左侧。

$2 v^{2} + 20 v + 51 = v^{2} + 6 \cdot v + 6 v + 6 \cdot 6$

解题步骤 1.4.1.3

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$2 v^{2} + 20 v + 51 = v^{2} + 6 v + 6 v + 36$

解题步骤 1.4.2

将 $6 v$ 和 $6 v$ 相加。

$2 v^{2} + 20 v + 51 = v^{2} + 12 v + 36$

解题步骤 2

将所有包含 $v$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $v^{2}$ 。

$2 v^{2} + 20 v + 51 - v^{2} = 12 v + 36$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $12 v$ 。

$2 v^{2} + 20 v + 51 - v^{2} - 12 v = 36$

解题步骤 2.3

从 $2 v^{2}$ 中减去 $v^{2}$ 。

$v^{2} + 20 v + 51 - 12 v = 36$

解题步骤 2.4

从 $20 v$ 中减去 $12 v$ 。

$v^{2} + 8 v + 51 = 36$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $36$ 。

$v^{2} + 8 v + 51 - 36 = 0$

解题步骤 4

从 $51$ 中减去 $36$ 。

$v^{2} + 8 v + 15 = 0$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $v^{2} + 8 v + 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $15$ ，和为 $8$ 。

$3, 5$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(v + 3) (v + 5) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$v + 3 = 0$

$v + 5 = 0$

解题步骤 7

将 $v + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $v$ 。

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解题步骤 7.1

将 $v + 3$ 设为等于 $0$ 。

$v + 3 = 0$

解题步骤 7.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$v = - 3$

解题步骤 8

将 $v + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $v$ 。

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解题步骤 8.1

将 $v + 5$ 设为等于 $0$ 。

$v + 5 = 0$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$v = - 5$

解题步骤 9

最终解为使 $(v + 3) (v + 5) = 0$ 成立的所有值。

$v = - 3, - 5$

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