初等代数示例

$\frac{8}{t^{2} - 16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t - 4}$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{8}{t^{2} - 16} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

解题步骤 2

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{8}{t^{2} - 4^{2}} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = t$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

解题步骤 3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$(t + 4) (t - 4), t - 4, 8$

解题步骤 3.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 3.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 3.4

$8$ 的质因数是 $2 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.4.1

$8$ 具有因式 $2$ 和 $4$ 。

$2 \cdot 4$

解题步骤 3.4.2

$4$ 具有因式 $2$ 和 $2$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 2$

解题步骤 3.5

乘以 $2 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cdot 2$

解题步骤 3.5.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8$

解题步骤 3.6

$t + 4$ 的因式是 $t + 4$ 本身。

$(t + 4) = t + 4$

$(t + 4)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 3.7

$t - 4$ 的因式是 $t - 4$ 本身。

$(t - 4) = t - 4$

$(t - 4)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 3.8

$t + 4, t - 4, t - 4$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(t + 4) (t - 4)$

解题步骤 3.9

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$8 (t + 4) (t - 4)$

解题步骤 4

将 $\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$ 中的每一项乘以 $8 (t + 4) (t - 4)$ 以消去分数。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$ 中的每一项乘以 $8 (t + 4) (t - 4)$ 。

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} (8 (t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.2.2

乘以 $8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

组合 $8$ 和 $\frac{8}{(t + 4) (t - 4)}$ 。

$\frac{8 \cdot 8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.2.2.2

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.2.3

约去 $(t + 4) (t - 4)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.2.3.2

重写表达式。

$64 = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$64 = 8 \frac{1}{t - 4} ((t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.3.1.2

组合 $8$ 和 $\frac{1}{t - 4}$ 。

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.3.1.3

约去 $t - 4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.3.1

从 $(t + 4) (t - 4)$ 中分解出因数 $t - 4$ 。

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t - 4) (t + 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.3.1.3.2

约去公因数。

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t - 4) (t + 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.3.1.3.3

重写表达式。

$64 = 8 (t + 4) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.3.1.4

运用分配律。

$64 = 8 t + 8 \cdot 4 + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.3.1.5

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

解题步骤 4.3.1.6

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.6.1

从 $8 (t + 4) (t - 4)$ 中分解出因数 $8$ 。

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 ((t + 4) (t - 4)))$

解题步骤 4.3.1.6.2

约去公因数。

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 ((t + 4) (t - 4)))$

解题步骤 4.3.1.6.3

重写表达式。

$64 = 8 t + 32 + (t + 4) (t - 4)$

解题步骤 4.3.1.7

使用 FOIL 方法展开 $(t + 4) (t - 4)$ 。

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解题步骤 4.3.1.7.1

运用分配律。

$64 = 8 t + 32 + t (t - 4) + 4 (t - 4)$

解题步骤 4.3.1.7.2

运用分配律。

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 (t - 4)$

解题步骤 4.3.1.7.3

运用分配律。

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 t + 4 \cdot - 4$

解题步骤 4.3.1.8

合并 $t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 t + 4 \cdot - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.1.8.1

按照 $t \cdot - 4$ 和 $4 t$ 重新排列因数。

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t - 4 t + 4 t + 4 \cdot - 4$

解题步骤 4.3.1.8.2

将 $- 4 t$ 和 $4 t$ 相加。

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + 0 + 4 \cdot - 4$

解题步骤 4.3.1.8.3

将 $t \cdot t$ 和 $0$ 相加。

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + 4 \cdot - 4$

解题步骤 4.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.9.1

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$64 = 8 t + 32 + t^{2} + 4 \cdot - 4$

解题步骤 4.3.1.9.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$64 = 8 t + 32 + t^{2} - 16$

解题步骤 4.3.2

从 $32$ 中减去 $16$ 。

$64 = 8 t + t^{2} + 16$

解题步骤 5

求解方程。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $8 t + t^{2} + 16 = 64$ 。

$8 t + t^{2} + 16 = 64$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $64$ 。

$8 t + t^{2} + 16 - 64 = 0$

解题步骤 5.3

从 $16$ 中减去 $64$ 。

$8 t + t^{2} - 48 = 0$

解题步骤 5.4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.4.1

使 $u = t$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $t$ 。

$8 u + u^{2} - 48 = 0$

解题步骤 5.4.2

使用 AC 法来对 $8 u + u^{2} - 48$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.4.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 48$ ，和为 $8$ 。

$- 4, 12$

解题步骤 5.4.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 4) (u + 12) = 0$

解题步骤 5.4.3

使用 $t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(t - 4) (t + 12) = 0$

解题步骤 5.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$t - 4 = 0$

$t + 12 = 0$

解题步骤 5.6

将 $t - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $t - 4$ 设为等于 $0$ 。

$t - 4 = 0$

解题步骤 5.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$t = 4$

解题步骤 5.7

将 $t + 12$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 5.7.1

将 $t + 12$ 设为等于 $0$ 。

$t + 12 = 0$

解题步骤 5.7.2

从等式两边同时减去 $12$ 。

$t = - 12$

解题步骤 5.8

最终解为使 $(t - 4) (t + 12) = 0$ 成立的所有值。

$t = 4, - 12$

解题步骤 6

排除不能使 $\frac{8}{t^{2} - 16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t - 4}$ 成立的解。

$t = - 12$

初等代数 示例

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