初等代数示例

$\frac{1}{42^{2}} = \frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{42^{2}}$ 。

$\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{42^{2}}$

解题步骤 2

对 $42$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$

解题步骤 3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$4 x, 4 x^{2}, 1764$

解题步骤 3.2

Since $4 x, 4 x^{2}, 1764$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 4, 1764$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

解题步骤 3.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 3.4

$4$ 具有因式 $2$ 和 $2$ 。

$2 \cdot 2$

解题步骤 3.5

$1764$ 的质因数是 $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ 。

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解题步骤 3.5.1

$1764$ 具有因式 $2$ 和 $882$ 。

$2 \cdot 882$

解题步骤 3.5.2

$882$ 具有因式 $2$ 和 $441$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 441$

解题步骤 3.5.3

$441$ 具有因式 $3$ 和 $147$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 147$

解题步骤 3.5.4

$147$ 具有因式 $3$ 和 $49$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 49$

解题步骤 3.5.5

$49$ 具有因式 $7$ 和 $7$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

解题步骤 3.6

乘以 $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

解题步骤 3.6.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

解题步骤 3.6.3

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$36 \cdot 7 \cdot 7$

解题步骤 3.6.4

将 $36$ 乘以 $7$ 。

$252 \cdot 7$

解题步骤 3.6.5

将 $252$ 乘以 $7$ 。

$1764$

解题步骤 3.7

$x^{1}$ 的因式是 $x$ 本身。

$x^{1} = x$

$x$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 3.8

$x^{2}$ 的因数为 $x \cdot x$ ，即 $x$ 连续相乘 $2$ 次。

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ 出现了 $2$ 次。

解题步骤 3.9

$x^{1}, x^{2}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x \cdot x$

解题步骤 3.10

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2}$

解题步骤 3.11

$4 x, 4 x^{2}, 1764$ 的最小公倍数为数字部分 $1764$ 乘以变量部分。

$1764 x^{2}$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$ 中的每一项乘以 $1764 x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$ 中的每一项乘以 $1764 x^{2}$ 。

$\frac{1}{4 x} (1764 x^{2}) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$1764 \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.2.1

从 $1764$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (441) \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.2.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (441) \frac{1}{4 (x)} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.2.3

约去公因数。

$4 \cdot 441 \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.2.4

重写表达式。

$441 \frac{1}{x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.3

组合 $441$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{441}{x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{441}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.4.2

约去公因数。

$\frac{441}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.4.3

重写表达式。

$441 x + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$441 x + 1764 \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.6.1

从 $1764$ 中分解出因数 $4$ 。

$441 x + 4 (441) \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.6.2

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$441 x + 4 (441) \frac{5}{4 (x^{2})} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.6.3

约去公因数。

$441 x + 4 \cdot 441 \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.6.4

重写表达式。

$441 x + 441 \frac{5}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.7

组合 $441$ 和 $\frac{5}{x^{2}}$ 。

$441 x + \frac{441 \cdot 5}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.8

将 $441$ 乘以 $5$ 。

$441 x + \frac{2205}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.9

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.9.1

约去公因数。

$441 x + \frac{2205}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.2.1.9.2

重写表达式。

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

约去 $1764$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $1764 x^{2}$ 中分解出因数 $1764$ 。

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 (x^{2}))$

解题步骤 4.3.1.2

约去公因数。

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

解题步骤 4.3.1.3

重写表达式。

$441 x + 2205 = x^{2}$

解题步骤 5

求解方程。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$441 x + 2205 - x^{2} = 0$

解题步骤 5.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.3

将 $a = - 1$ 、 $b = 441$ 和 $c = 2205$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 441 \pm \sqrt{441^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 2205)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.4.1.1

对 $441$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 - 4 \cdot - 1 \cdot 2205}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot 2205$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 + 4 \cdot 2205}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.1.2.2

将 $4$ 乘以 $2205$ 。

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 + 8820}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.1.3

将 $194481$ 和 $8820$ 相加。

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{203301}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.1.4

将 $203301$ 重写为 $21^{2} \cdot 461$ 。

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解题步骤 5.4.1.4.1

从 $203301$ 中分解出因数 $441$ 。

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{441 (461)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.1.4.2

将 $441$ 重写为 $21^{2}$ 。

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{21^{2} \cdot 461}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{- 2}$

解题步骤 5.4.3

化简 $\frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{- 2}$ 。

$x = \frac{441 \pm 21 \sqrt{461}}{2}$

解题步骤 5.5

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{441 + 21 \sqrt{461}}{2}, \frac{441 - 21 \sqrt{461}}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{441 + 21 \sqrt{461}}{2}, \frac{441 - 21 \sqrt{461}}{2}$

小数形式：

$x = 445.94456081 \dots, - 4.94456081 \dots$

初等代数 示例

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