初等代数示例

$\frac{4 k^{2} - 3 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \div \frac{16 k^{2} - 1}{4 k^{2} + 1 k - 5}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{4 k^{2} - 3 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ 并且它们的和为 $b = - 3$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $- 3 k$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{4 k^{2} - 3 (k) - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 2.1.2

把 $- 3$ 重写为 $1$ 加 $- 4$

$\frac{4 k^{2} + (1 - 4) k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$\frac{4 k^{2} + 1 k - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 2.1.4

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 k^{2} + k - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(4 k^{2} + k) - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{k (4 k + 1) - (4 k + 1)}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数 $4 k + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ 并且它们的和为 $b = 9$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $9 k$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 9 (k) + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2

把 $9$ 重写为 $4$ 加 $5$

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + (4 + 5) k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 4 k + 5 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(4 k^{2} + 4 k) + 5 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k (k + 1) + 5 (k + 1)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 3.3

通过因式分解出最大公因数 $k + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 4

分组因式分解。

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解题步骤 4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $1 k$ 中分解出因数 $1$ 。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 (k) - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 4.1.2

把 $1$ 重写为 $- 4$ 加 $5$

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + (- 4 + 5) k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} - 4 k + 5 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(4 k^{2} - 4 k) + 5 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k (k - 1) + 5 (k - 1)}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 4.3

通过因式分解出最大公因数 $k - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{16 k^{2} - 1}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

将 $16 k^{2}$ 重写为 ${(4 k)}^{2}$ 。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{{(4 k)}^{2} - 1}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{{(4 k)}^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 5.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4 k$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{(4 k + 1) (4 k - 1)}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

约去 $4 k + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

约去公因数。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{(4 k + 1) (4 k - 1)}$

解题步骤 6.1.2

重写表达式。

$\frac{k - 1}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{4 k - 1}$

解题步骤 6.2

约去 $4 k + 5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $(k + 1) (4 k + 5)$ 中分解出因数 $4 k + 5$ 。

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{4 k - 1}$

解题步骤 6.2.2

从 $(k - 1) (4 k + 5)$ 中分解出因数 $4 k + 5$ 。

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(4 k + 5) (k - 1)}{4 k - 1}$

解题步骤 6.2.3

约去公因数。

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(4 k + 5) (k - 1)}{4 k - 1}$

解题步骤 6.2.4

重写表达式。

$\frac{k - 1}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{4 k - 1}$

解题步骤 6.3

将 $\frac{k - 1}{k + 1}$ 乘以 $\frac{k - 1}{4 k - 1}$ 。

$\frac{(k - 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k - 1)}$

解题步骤 7

对 $k - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(k - 1)}^{1} (k - 1)}{(k + 1) (4 k - 1)}$

解题步骤 8

对 $k - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(k - 1)}^{1} {(k - 1)}^{1}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

解题步骤 9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(k - 1)}^{1 + 1}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

解题步骤 10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(k - 1)}^{2}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

初等代数 示例

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