初等代数示例

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ 并且它们的和为 $b = - 3$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} - 3 (x) - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

解题步骤 1.1.1.2

把 $- 3$ 重写为 $1$ 加 $- 4$

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} + (1 - 4) x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} + 1 x - 4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

解题步骤 1.1.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} + x - 4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x^{2} + x) - 4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

解题步骤 1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x (4 x + 1) - (4 x + 1)}{x^{2} + 3 x - 10}$

解题步骤 1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $4 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 3 x - 10}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x - 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 10$ ，和为 $3$ 。

$- 2, 5$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{3 x + 5}{x + 5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 - x}{2 - x}$ 。

$\frac{3 x + 5}{x + 5} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{x + 1}{2 - x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$\frac{3 x + 5}{x + 5} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} - \frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 5) (2 - x)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{3 x + 5}{x + 5}$ 乘以 $\frac{2 - x}{2 - x}$ 。

$\frac{(3 x + 5) (2 - x)}{(x + 5) (2 - x)} - \frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{x + 1}{2 - x}$ 乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$\frac{(3 x + 5) (2 - x)}{(x + 5) (2 - x)} - \frac{(x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x + 5) (2 - x)$ 的因式。

$\frac{(3 x + 5) (2 - x)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(3 x + 5) (2 - x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(3 x + 5) (2 - x)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{3 x (2 - x) + 5 (2 - x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot 2 + 3 x (- x) + 5 (2 - x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot 2 + 3 x (- x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x + 3 x (- x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.2.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 x \cdot x + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.2.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 (x \cdot x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.2.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 10 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 10 - 5 x - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.2.2

从 $6 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 + (- x - 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.5

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 1) (x + 5)$ 。

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解题步骤 6.5.1

运用分配律。

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x (x + 5) - 1 (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.5.2

运用分配律。

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x \cdot x - x \cdot 5 - 1 (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.5.3

运用分配律。

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x \cdot x - x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - (x \cdot x) - x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.6.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.6.1.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.6.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.6.2

从 $- 5 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 6 x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.7

从 $x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{- 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.8

从 $- 3 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 10 - 5 x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 6.9

从 $10$ 中减去 $5$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 7.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(- 1 (- x) - 2) (x + 5)}$

解题步骤 7.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(- 1 (- x) - 1 (2)) (x + 5)}$

解题步骤 7.3

从 $- 1 (- x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 8

要将 $\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(- x + 2) (x + 5) \cdot - 1$ 的形式。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)}$ 乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$\frac{(- 4 x^{2} - 5 x + 5) \cdot - 1}{(- x + 2) (x + 5) \cdot - 1} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 9.2

重新排序 $(- x + 2) (x + 5) \cdot - 1$ 的因式。

$\frac{(- 4 x^{2} - 5 x + 5) \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 10

在公分母上合并分子。

$\frac{(- 4 x^{2} - 5 x + 5) \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11

化简分子。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{- 4 x^{2} \cdot - 1 - 5 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{4 x^{2} - 5 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.3

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 + (- (4 x) - 1 \cdot 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 + (- 4 x - 1 \cdot 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 + (- 4 x - 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.6

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 11.6.1

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x (x - 1) - 1 (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.6.2

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.6.3

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.7.1

化简每一项。

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解题步骤 11.7.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.7.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.7.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.7.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 4 x - x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.7.2

从 $4 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 3 x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.8

从 $4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{5 x - 5 + 0 + 3 x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.9

将 $5 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 x - 5 + 3 x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.10

将 $5 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{8 x - 5 + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.11

将 $- 5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8 x - 4}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.12

从 $8 x - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 11.12.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (2 x) - 4}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.12.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (2 x) + 4 (- 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 11.12.3

从 $4 (2 x) + 4 (- 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (2 x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 12

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 12.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 (2 x - 1)}{(- x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 12.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{4 (2 x - 1)}{(- (x) + 2) (x + 5)}$

解题步骤 12.3

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$- \frac{4 (2 x - 1)}{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 5)}$

解题步骤 12.4

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{4 (2 x - 1)}{- (x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 12.5

化简表达式。

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解题步骤 12.5.1

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$- \frac{4 (2 x - 1)}{- 1 (x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 12.5.2

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 12.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 12.5.4

将 $\frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

初等代数 示例

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