初等代数示例

$\frac{7 x}{3 x^{2} - 2 x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{7 x}{3 x^{2} - 2 (x) - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

解题步骤 1.1.1.2

把 $- 2$ 重写为 $6$ 加 $- 8$

$\frac{7 x}{3 x^{2} + (6 - 8) x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{7 x}{3 x^{2} + 6 x - 8 x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{7 x}{(3 x^{2} + 6 x) - 8 x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

解题步骤 1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{7 x}{3 x (x + 2) - 8 (x + 2)} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

解题步骤 1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $x + 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ 。

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$ 乘以 $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ 。

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 8)}{(x - 1) (x + 2) (3 x - 8)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)$ 的因式。

$\frac{7 x (x - 1)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 8)}{(x - 1) (x + 2) (3 x - 8)}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(x - 1) (x + 2) (3 x - 8)$ 的因式。

$\frac{7 x (x - 1)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{7 x (x - 1) - 2 x (3 x - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

从 $7 x (x - 1) - 2 x (3 x - 8)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $7 x (x - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (7 (x - 1)) - 2 x (3 x - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

解题步骤 6.1.2

从 $- 2 x (3 x - 8)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (7 (x - 1)) + x (- 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

解题步骤 6.1.3

从 $x (7 (x - 1)) + x (- 2 (3 x - 8))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (7 (x - 1) - 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{x (7 x + 7 \cdot - 1 - 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

解题步骤 6.3

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x (7 x - 7 - 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{x (7 x - 7 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

解题步骤 6.5

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x (7 x - 7 - 6 x - 2 \cdot - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

解题步骤 6.6

将 $- 2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{x (7 x - 7 - 6 x + 16)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

解题步骤 6.7

从 $7 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{x (x - 7 + 16)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

解题步骤 6.8

将 $- 7$ 和 $16$ 相加。

$\frac{x (x + 9)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

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