初等代数示例

$\frac{x - 2}{x - 8} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{x^{2} - 12 x + 32}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 12 x + 32$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $32$ ，和为 $- 12$ 。

$- 8, - 4$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x - 2}{x - 8} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{x - 2}{x - 8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 - x}{4 - x}$ 。

$\frac{x - 2}{x - 8} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{3 x}{4 - x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 8}{x - 8}$ 。

$\frac{x - 2}{x - 8} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{3 x}{4 - x} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 8) (4 - x)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x - 2}{x - 8}$ 乘以 $\frac{4 - x}{4 - x}$ 。

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(x - 8) (4 - x)} - \frac{3 x}{4 - x} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3 x}{4 - x}$ 乘以 $\frac{x - 8}{x - 8}$ 。

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(x - 8) (4 - x)} - \frac{3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 8) (4 - x)$ 的因式。

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(4 - x) (x - 8)} - \frac{3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(x - 2) (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (4 - x)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{x (4 - x) - 2 (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot 4 + x (- x) - 2 (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot 4 + x (- x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.2.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 x - x \cdot x - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.2.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.2.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 x - x^{2} - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 x - x^{2} - 8 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4 x - x^{2} - 8 + 2 x - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.2.2

将 $4 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.5

将 $- 8$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x^{2} + 24 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.6

将 $6 x$ 和 $24 x$ 相加。

$\frac{- x^{2} - 8 - 3 x^{2} + 30 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.7

从 $- x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 8 + 30 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.8

重新排序项。

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.9

从 $- 4 x^{2} + 30 x - 8$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.9.1

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 30 x - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.9.2

从 $30 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.9.3

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 (- 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.9.4

从 $2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x) + 2 (- 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 6.9.5

从 $2 (- 2 x^{2} + 15 x) + 2 (- 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x) - 4)}$

解题步骤 7.2

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x) - 1 (4))}$

解题步骤 7.3

从 $- 1 (- x) - 1 (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x + 4))}$

解题步骤 7.4

化简表达式。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x + 4))}$ 分母的一个负号移到分子上。

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(x - 8) (- x + 4)}$

解题步骤 7.4.2

重新排序项。

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(- x + 4) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(x - 8) (- x + 4)}$

解题步骤 7.4.3

重新排序 $(x - 8) (- x + 4)$ 的因式。

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(- x + 4) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 7.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4) - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 2 (15 x) + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.2.2

将 $15$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - x^{2} - - 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.4

将 $- 1$ 乘以 $- 88$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - x^{2} + 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.5

从 $- 4 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{- 5 x^{2} + 30 x - 8 + 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.6

将 $- 8$ 和 $88$ 相加。

$\frac{- 5 x^{2} + 30 x + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.7

以因式分解的形式重写 $- 5 x^{2} + 30 x + 80$ 。

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解题步骤 8.7.1

从 $- 5 x^{2} + 30 x + 80$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 8.7.1.1

从 $- 5 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- x^{2}) + 30 x + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.7.1.2

从 $30 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (6 x) + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.7.1.3

从 $80$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (6 x) + 5 (16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.7.1.4

从 $5 (- x^{2}) + 5 (6 x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- x^{2} + 6 x) + 5 (16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.7.1.5

从 $5 (- x^{2} + 6 x) + 5 (16)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- x^{2} + 6 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.7.2

分组因式分解。

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解题步骤 8.7.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ 并且它们的和为 $b = 6$ 。

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解题步骤 8.7.2.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{5 (- x^{2} + 6 (x) + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.7.2.1.2

把 $6$ 重写为 $- 2$ 加 $8$

$\frac{5 (- x^{2} + (- 2 + 8) x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.7.2.1.3

运用分配律。

$\frac{5 (- x^{2} - 2 x + 8 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.7.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 8.7.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{5 ((- x^{2} - 2 x) + 8 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.7.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{5 (x (- x - 2) - 8 (- x - 2))}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 8.7.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{5 ((- x - 2) (x - 8))}{(- x + 4) (x - 8)}$

$\frac{5 (- x - 2) (x - 8)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 9

化简项。

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解题步骤 9.1

约去 $x - 8$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

约去公因数。

$\frac{5 (- x - 2) (x - 8)}{(- x + 4) (x - 8)}$

解题步骤 9.1.2

重写表达式。

$\frac{5 (- x - 2)}{- x + 4}$

解题步骤 9.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{5 (- (x) - 2)}{- x + 4}$

解题步骤 9.3

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{5 (- (x) - 1 (2))}{- x + 4}$

解题步骤 9.4

从 $- (x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{5 (- (x + 2))}{- x + 4}$

解题步骤 9.5

将 $- (x + 2)$ 重写为 $- 1 (x + 2)$ 。

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- x + 4}$

解题步骤 9.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x) + 4}$

解题步骤 9.7

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x) - 1 (- 4)}$

解题步骤 9.8

从 $- (x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x - 4)}$

解题步骤 9.9

将 $- (x - 4)$ 重写为 $- 1 (x - 4)$ 。

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- 1 (x - 4)}$

解题步骤 9.10

约去公因数。

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- 1 (x - 4)}$

解题步骤 9.11

重写表达式。

$\frac{5 (x + 2)}{x - 4}$

初等代数 示例

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