初等代数示例

$2^{2 x} - 2^{x - 1} - 2^{2} + 2 < 0$

解题步骤 1

将 $2^{x - 1}$ 重写为 $2^{x} \cdot 2^{- 1}$ 。

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

解题步骤 2

将 $2^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

解题步骤 3

去掉圆括号。

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $2^{x}$ 。

$u^{2} - u \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u^{2} - u \cdot \frac{1}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u$ 。

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

解题步骤 5.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u^{2} - \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 + 2 = 0$

解题步骤 5.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0$

解题步骤 6

将 $- 4$ 和 $2$ 相加。

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2 = 0$

解题步骤 7

求解 $u$ 。

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解题步骤 7.1

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$2 u^{2} + 2 (- \frac{u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 7.1.2

化简。

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解题步骤 7.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.2.1.1

将 $- \frac{u}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 7.1.2.1.2

约去公因数。

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 7.1.2.1.3

重写表达式。

$2 u^{2} - u + 2 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 u^{2} - u - 4 = 0$

解题步骤 7.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.3

将 $a = 2$ 、 $b = - 1$ 和 $c = - 4$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 7.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.4.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.4.1.3

将 $1$ 和 $32$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

解题步骤 7.5

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

解题步骤 8

代入 $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ 替换 $u = 2^{x}$ 中的 $u$ 。

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

解题步骤 9

求解 $\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ 。

$2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

解题步骤 9.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

解题步骤 9.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{x})$ 。

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

解题步骤 9.4

将 $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ 中的每一项除以 $\ln (2)$ 并化简。

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解题步骤 9.4.1

将 $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ 中的每一项都除以 $\ln (2)$ 。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

解题步骤 9.4.2

化简左边。

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解题步骤 9.4.2.1

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

解题步骤 9.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

解题步骤 10

代入 $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ 替换 $u = 2^{x}$ 中的 $u$ 。

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

解题步骤 11

求解 $\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ 。

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解题步骤 11.1

将方程重写为 $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ 。

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

解题步骤 11.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$

解题步骤 11.3

因为 $\ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 11.4

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ 无解

无解

解题步骤 12

列出使方程成立的解。

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

解题步骤 13

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

区间计数法：

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)})$

解题步骤 15

初等代数 示例

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