初等代数示例

$\sqrt{3 x + 28} = 1 + \sqrt{x + 9}$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{3 x + 28}}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x + 28}$ 重写成 ${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(3 x + 28)}^{1} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$3 x + 28 = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{x + 9}) (1 + \sqrt{x + 9})$ 。

$3 x + 28 = (1 + \sqrt{x + 9}) (1 + \sqrt{x + 9})$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{x + 9}) (1 + \sqrt{x + 9})$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$3 x + 28 = 1 (1 + \sqrt{x + 9}) + \sqrt{x + 9} (1 + \sqrt{x + 9})$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$3 x + 28 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} (1 + \sqrt{x + 9})$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$3 x + 28 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \cdot 1 + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$3 x + 28 = 1 + 1 \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \cdot 1 + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 $\sqrt{x + 9}$ 乘以 $1$ 。

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \cdot 1 + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $\sqrt{x + 9}$ 乘以 $1$ 。

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4

乘以 $\sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.4.1

对 $\sqrt{x + 9}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{1} \sqrt{x + 9}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.2

对 $\sqrt{x + 9}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{1} {\sqrt{x + 9}}^{1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{1 + 1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5

将 ${\sqrt{x + 9}}^{2}$ 重写为 $x + 9$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 9}$ 重写成 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.1.5.4.1

约去公因数。

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.4.2

重写表达式。

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.5

化简。

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + x + 9$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$3 x + 28 = 10 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + x$

解题步骤 2.3.1.3.3

将 $\sqrt{x + 9}$ 和 $\sqrt{x + 9}$ 相加。

$3 x + 28 = 10 + 2 \sqrt{x + 9} + x$

解题步骤 3

求解 $2 \sqrt{x + 9}$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $10 + 2 \sqrt{x + 9} + x = 3 x + 28$ 。

$10 + 2 \sqrt{x + 9} + x = 3 x + 28$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $2 \sqrt{x + 9}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $10$ 。

$2 \sqrt{x + 9} + x = 3 x + 28 - 10$

解题步骤 3.2.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$2 \sqrt{x + 9} = 3 x + 28 - 10 - x$

解题步骤 3.2.3

从 $3 x$ 中减去 $x$ 。

$2 \sqrt{x + 9} = 2 x + 28 - 10$

解题步骤 3.2.4

从 $28$ 中减去 $10$ 。

$2 \sqrt{x + 9} = 2 x + 18$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x + 9})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 9}$ 重写成 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${(2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

将 ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 18)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 18)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(x + 9)}^{1} = {(2 x + 18)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

化简。

$4 (x + 9) = {(2 x + 18)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.5

运用分配律。

$4 x + 4 \cdot 9 = {(2 x + 18)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$4 x + 36 = {(2 x + 18)}^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简 ${(2 x + 18)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

将 ${(2 x + 18)}^{2}$ 重写为 $(2 x + 18) (2 x + 18)$ 。

$4 x + 36 = (2 x + 18) (2 x + 18)$

解题步骤 5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 18) (2 x + 18)$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

运用分配律。

$4 x + 36 = 2 x (2 x + 18) + 18 (2 x + 18)$

解题步骤 5.3.1.2.2

运用分配律。

$4 x + 36 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x + 18)$

解题步骤 5.3.1.2.3

运用分配律。

$4 x + 36 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

解题步骤 5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 x + 36 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

解题步骤 5.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$4 x + 36 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

解题步骤 5.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x + 36 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

解题步骤 5.3.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

解题步骤 5.3.1.3.1.4

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 36 x + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

解题步骤 5.3.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 36 x + 36 x + 18 \cdot 18$

解题步骤 5.3.1.3.1.6

将 $18$ 乘以 $18$ 。

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 36 x + 36 x + 324$

解题步骤 5.3.1.3.2

将 $36 x$ 和 $36 x$ 相加。

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 72 x + 324$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$4 x^{2} + 72 x + 324 = 4 x + 36$

解题步骤 6.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$4 x^{2} + 72 x + 324 - 4 x = 36$

解题步骤 6.2.2

从 $72 x$ 中减去 $4 x$ 。

$4 x^{2} + 68 x + 324 = 36$

解题步骤 6.3

从等式两边同时减去 $36$ 。

$4 x^{2} + 68 x + 324 - 36 = 0$

解题步骤 6.4

从 $324$ 中减去 $36$ 。

$4 x^{2} + 68 x + 288 = 0$

解题步骤 6.5

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.5.1

从 $4 x^{2} + 68 x + 288$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 6.5.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{2}) + 68 x + 288 = 0$

解题步骤 6.5.1.2

从 $68 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{2}) + 4 (17 x) + 288 = 0$

解题步骤 6.5.1.3

从 $288$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 x^{2} + 4 (17 x) + 4 \cdot 72 = 0$

解题步骤 6.5.1.4

从 $4 x^{2} + 4 (17 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{2} + 17 x) + 4 \cdot 72 = 0$

解题步骤 6.5.1.5

从 $4 (x^{2} + 17 x) + 4 \cdot 72$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{2} + 17 x + 72) = 0$

解题步骤 6.5.2

因数。

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解题步骤 6.5.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 17 x + 72$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.5.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $72$ ，和为 $17$ 。

$8, 9$

解题步骤 6.5.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$4 ((x + 8) (x + 9)) = 0$

解题步骤 6.5.2.2

去掉多余的括号。

$4 (x + 8) (x + 9) = 0$

解题步骤 6.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 8 = 0$

$x + 9 = 0$

解题步骤 6.7

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.7.1

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 。

$x + 8 = 0$

解题步骤 6.7.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x = - 8$

解题步骤 6.8

将 $x + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.8.1

将 $x + 9$ 设为等于 $0$ 。

$x + 9 = 0$

解题步骤 6.8.2

从等式两边同时减去 $9$ 。

$x = - 9$

解题步骤 6.9

最终解为使 $4 (x + 8) (x + 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 8, - 9$

初等代数 示例

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