初等代数示例

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{4} x^{8} - \frac{5}{4} x^{6} + \frac{1}{4} x$

解题步骤 1

从 $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{4} x^{8} - \frac{5}{4} x^{6} + \frac{1}{4} x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1

从 $\frac{1}{4} x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\frac{1}{4} x^{3}) + \frac{3}{4} x^{8} - \frac{5}{4} x^{6} + \frac{1}{4} x$

解题步骤 1.2

从 $\frac{3}{4} x^{8}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\frac{1}{4} x^{3}) + x (\frac{3}{4} x^{7}) - \frac{5}{4} x^{6} + \frac{1}{4} x$

解题步骤 1.3

从 $- \frac{5}{4} x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\frac{1}{4} x^{3}) + x (\frac{3}{4} x^{7}) + x (- \frac{5}{4} x^{5}) + \frac{1}{4} x$

解题步骤 1.4

从 $\frac{1}{4} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\frac{1}{4} x^{3}) + x (\frac{3}{4} x^{7}) + x (- \frac{5}{4} x^{5}) + x \frac{1}{4}$

解题步骤 1.5

从 $x (\frac{1}{4} x^{3}) + x (\frac{3}{4} x^{7})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\frac{1}{4} x^{3} + \frac{3}{4} x^{7}) + x (- \frac{5}{4} x^{5}) + x \frac{1}{4}$

解题步骤 1.6

从 $x (\frac{1}{4} x^{3} + \frac{3}{4} x^{7}) + x (- \frac{5}{4} x^{5})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\frac{1}{4} x^{3} + \frac{3}{4} x^{7} - \frac{5}{4} x^{5}) + x \frac{1}{4}$

解题步骤 1.7

从 $x (\frac{1}{4} x^{3} + \frac{3}{4} x^{7} - \frac{5}{4} x^{5}) + x \frac{1}{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\frac{1}{4} x^{3} + \frac{3}{4} x^{7} - \frac{5}{4} x^{5} + \frac{1}{4})$

解题步骤 2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$x (\frac{x^{3}}{4} + \frac{3}{4} x^{7} - \frac{5}{4} x^{5} + \frac{1}{4})$

解题步骤 3

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x^{7}$ 。

$x (\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{7}}{4} - \frac{5}{4} x^{5} + \frac{1}{4})$

解题步骤 4

组合 $x^{5}$ 和 $\frac{5}{4}$ 。

$x (\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{7}}{4} - \frac{x^{5} \cdot 5}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 5

将 $5$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$x (\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{7}}{4} - \frac{5 \cdot x^{5}}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 6

将 $5$ 乘以 $x^{5}$ 。

$x (\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{7}}{4} - \frac{5 x^{5}}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 7

重新排序项。

$x (\frac{3 x^{7}}{4} - \frac{5 x^{5}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 8

因数。

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解题步骤 8.1

以因式分解的形式重写 $\frac{3 x^{7}}{4} - \frac{5 x^{5}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 8.1.1

重新组合项。

$x (\frac{3 x^{7}}{4} - \frac{5 x^{5}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 8.1.2

从每项中因式分解出 $\frac{1}{4}$ 。

$x (\frac{1}{4} (3 x^{7} - (5 x^{5})) + \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 8.1.3

从每项中因式分解出 $\frac{1}{4}$ 。

$x (\frac{1}{4} (3 x^{7} - (5 x^{5})) + \frac{1}{4} (x^{3} + 1))$

解题步骤 8.1.4

去掉圆括号。

$x (\frac{1}{4} (3 x^{7} - 1 \cdot 5 x^{5}) + \frac{1}{4} (x^{3} + 1))$

解题步骤 8.1.5

从 $\frac{1}{4} (3 x^{7} - 1 \cdot 5 x^{5}) + \frac{1}{4} (x^{3} + 1)$ 中分解出因数 $\frac{1}{4}$ 。

$x (\frac{1}{4} (3 x^{7} - 1 \cdot 5 x^{5} + x^{3} + 1))$

解题步骤 8.1.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$x (\frac{1}{4} (3 x^{7} - 5 x^{5} + x^{3} + 1))$

解题步骤 8.1.7

因数。

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解题步骤 8.1.7.1

使用有理根检验法因式分解 $3 x^{7} - 5 x^{5} + x^{3} + 1$ 。

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解题步骤 8.1.7.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 8.1.7.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

解题步骤 8.1.7.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 8.1.7.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$3 \cdot 1^{7} - 5 \cdot 1^{5} + 1^{3} + 1$

解题步骤 8.1.7.1.3.2

对 $1$ 进行 $7$ 次方运算。

$3 \cdot 1 - 5 \cdot 1^{5} + 1^{3} + 1$

解题步骤 8.1.7.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 - 5 \cdot 1^{5} + 1^{3} + 1$

解题步骤 8.1.7.1.3.4

对 $1$ 进行 $5$ 次方运算。

$3 - 5 \cdot 1 + 1^{3} + 1$

解题步骤 8.1.7.1.3.5

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$3 - 5 + 1^{3} + 1$

解题步骤 8.1.7.1.3.6

从 $3$ 中减去 $5$ 。

$- 2 + 1^{3} + 1$

解题步骤 8.1.7.1.3.7

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 2 + 1 + 1$

解题步骤 8.1.7.1.3.8

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$- 1 + 1$

解题步骤 8.1.7.1.3.9

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0$

解题步骤 8.1.7.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{3 x^{7} - 5 x^{5} + x^{3} + 1}{x - 1}$

解题步骤 8.1.7.1.5

用 $3 x^{7} - 5 x^{5} + x^{3} + 1$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 8.1.7.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 8.1.7.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $3 x^{7}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$3 x^{6}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 8.1.7.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{6}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

解题步骤 8.1.7.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{7} - 3 x^{6}$ 中的所有符号

$3 x^{6}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

解题步骤 8.1.7.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{6}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

解题步骤 8.1.7.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 x^{6}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

解题步骤 8.1.7.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $3 x^{6}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

解题步骤 8.1.7.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

解题步骤 8.1.7.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{6} - 3 x^{5}$ 中的所有符号

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

解题步骤 8.1.7.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

解题步骤 8.1.7.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

解题步骤 8.1.7.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

解题步骤 8.1.7.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

解题步骤 8.1.7.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{5} + 2 x^{4}$ 中的所有符号

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

解题步骤 8.1.7.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

解题步骤 8.1.7.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 8.1.7.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 8.1.7.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

解题步骤 8.1.7.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{4} + 2 x^{3}$ 中的所有符号

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

解题步骤 8.1.7.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

解题步骤 8.1.7.1.5.21

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 8.1.7.1.5.22

将被除数中的最高阶项 $- x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 8.1.7.1.5.23

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

解题步骤 8.1.7.1.5.24

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

解题步骤 8.1.7.1.5.25

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

解题步骤 8.1.7.1.5.26

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

解题步骤 8.1.7.1.5.27

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

解题步骤 8.1.7.1.5.28

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

解题步骤 8.1.7.1.5.29

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} + x$ 中的所有符号

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

解题步骤 8.1.7.1.5.30

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

解题步骤 8.1.7.1.5.31

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

解题步骤 8.1.7.1.5.32

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

解题步骤 8.1.7.1.5.33

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

解题步骤 8.1.7.1.5.34

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x + 1$ 中的所有符号

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

解题步骤 8.1.7.1.5.35

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$3 x^{7}$

$0 x^{6}$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{7}$

$3 x^{6}$

$5 x^{5}$

$3 x^{6}$

$3 x^{5}$

$2 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$0$

解题步骤 8.1.7.1.5.36

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$3 x^{6} + 3 x^{5} - 2 x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - x - 1$

解题步骤 8.1.7.1.6

将 $3 x^{7} - 5 x^{5} + x^{3} + 1$ 书写为因数的集合。

$x (\frac{1}{4} ((x - 1) (3 x^{6} + 3 x^{5} - 2 x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - x - 1)))$

解题步骤 8.1.7.2

去掉多余的括号。

$x (\frac{1}{4} (x - 1) (3 x^{6} + 3 x^{5} - 2 x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - x - 1))$

解题步骤 8.2

去掉多余的括号。

$x \frac{1}{4} (x - 1) (3 x^{6} + 3 x^{5} - 2 x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - x - 1)$

解题步骤 9

组合 $x$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{x}{4} (x - 1) (3 x^{6} + 3 x^{5} - 2 x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - x - 1)$

初等代数 示例

初等代数示例