初等代数示例

$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

解题步骤 1

要将 $\frac{x}{x^{2} - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ 。

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

解题步骤 2

要将 $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ 。

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x}{x^{2} - 1}$ 乘以 $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ 。

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ 乘以 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ 。

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ 的因式。

$\frac{x (x - x^{2})}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5

以因式分解的形式重写 $\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$ 。

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解题步骤 5.1

从 $x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $5 x (x^{2} - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.1.2

从 $x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x - x^{2} + 5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.2

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$\frac{x (u + 4 u^{2} - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.3

分组因式分解。

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解题步骤 5.3.1

重新排序项。

$\frac{x (4 u^{2} + u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.3.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{x (4 u^{2} + 1 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.3.2.2

把 $1$ 重写为 $- 4$ 加 $5$

$\frac{x (4 u^{2} + (- 4 + 5) u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.3.2.3

运用分配律。

$\frac{x (4 u^{2} - 4 u + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.3.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{x ((4 u^{2} - 4 u) + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (4 u (u - 1) + 5 (u - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.3.4

通过因式分解出最大公因数 $u - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{x ((u - 1) (4 u + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.4

因数。

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解题步骤 5.4.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x ((x - 1) (4 x + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.4.2

去掉多余的括号。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.5

从 $x - x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x^{1} - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.5.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.5.3

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 + x (- x)) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.5.4

从 $x \cdot 1 + x (- x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot (1 - x) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.5.5

将 $x$ 乘以 $1 - x$ 。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 5.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1^{2})}$

解题步骤 5.7

因数。

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解题步骤 5.7.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) ((x + 1) (x - 1))}$

解题步骤 5.7.2

去掉多余的括号。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.8

合并指数。

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解题步骤 5.8.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - x) (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.8.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - (x)) (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.8.3

从 $- 1 (- 1) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1 + x)) (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.8.4

去掉圆括号。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (- 1 + x) (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.8.5

重新排序项。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.8.6

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) (x + 1)}$

解题步骤 5.8.7

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) (x + 1)}$

解题步骤 5.8.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

解题步骤 5.8.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 5.9

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ 。

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解题步骤 5.9.1

约去公因数。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 5.9.2

重写表达式。

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

解题步骤 6

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ 。

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解题步骤 6.1

从 $- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$\frac{4 x + 5}{- 1 (x - 1) (x + 1)}$

初等代数 示例

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