初等代数示例

$\frac{n^{2} - 3 n - 10}{25 - n^{2}}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $n^{2} - 3 n - 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 10$ ，和为 $- 3$ 。

$- 5, 2$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(n - 5) (n + 2)}{25 - n^{2}}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{(n - 5) (n + 2)}{5^{2} - n^{2}}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = n$ 。

$\frac{(n - 5) (n + 2)}{(5 + n) (5 - n)}$

解题步骤 3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.1

约去 $n - 5$ 和 $5 - n$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $n$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- 1 (- n) - 5) (n + 2)}{(5 + n) (5 - n)}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{(- 1 (- n) - 1 (5)) (n + 2)}{(5 + n) (5 - n)}$

解题步骤 3.1.3

从 $- 1 (- n) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- n + 5) (n + 2)}{(5 + n) (5 - n)}$

解题步骤 3.1.4

重新排序项。

$\frac{- 1 (- n + 5) (n + 2)}{(5 + n) (- n + 5)}$

解题步骤 3.1.5

约去公因数。

$\frac{- 1 (- n + 5) (n + 2)}{(5 + n) (- n + 5)}$

解题步骤 3.1.6

重写表达式。

$\frac{- 1 (n + 2)}{5 + n}$

解题步骤 3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{n + 2}{5 + n}$

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