初等代数示例

$216 x^{6} + 19 x^{3} - 1$

解题步骤 1

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{3})}^{2}$ 。

$216 {(x^{3})}^{2} + 19 x^{3} - 1$

解题步骤 2

使 $u = x^{3}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{3}$ 。

$216 u^{2} + 19 u - 1$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 216 \cdot - 1 = - 216$ 并且它们的和为 $b = 19$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $19 u$ 中分解出因数 $19$ 。

$216 u^{2} + 19 (u) - 1$

解题步骤 3.1.2

把 $19$ 重写为 $- 8$ 加 $27$

$216 u^{2} + (- 8 + 27) u - 1$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$216 u^{2} - 8 u + 27 u - 1$

解题步骤 3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(216 u^{2} - 8 u) + 27 u - 1$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$8 u (27 u - 1) + 1 (27 u - 1)$

解题步骤 3.3

通过因式分解出最大公因数 $27 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(27 u - 1) (8 u + 1)$

解题步骤 4

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(27 x^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

解题步骤 5

将 $27 x^{3}$ 重写为 ${(3 x)}^{3}$ 。

$({(3 x)}^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

解题步骤 6

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$({(3 x)}^{3} - 1^{3}) (8 x^{3} + 1)$

解题步骤 7

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 3 x$ 和 $b = 1$ 。

$(3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$(3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

解题步骤 8.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

解题步骤 8.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

解题步骤 8.4

一的任意次幂都为一。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (8 x^{3} + 1)$

解题步骤 9

将 $8 x^{3}$ 重写为 ${(2 x)}^{3}$ 。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1)$

解题步骤 10

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1^{3})$

解题步骤 11

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 2 x$ 和 $b = 1$ 。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

解题步骤 12

因数。

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解题步骤 12.1

化简。

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解题步骤 12.1.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (2^{2} x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

解题步骤 12.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

解题步骤 12.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}))$

解题步骤 12.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2}))$

解题步骤 12.1.5

一的任意次幂都为一。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1))$

解题步骤 12.2

去掉多余的括号。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$

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