初等代数示例

$96 z^{5} + 72 z^{3} - 48 z^{2}$

解题步骤 1

从 $96 z^{5} + 72 z^{3} - 48 z^{2}$ 中分解出因数 $24 z^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

从 $96 z^{5}$ 中分解出因数 $24 z^{2}$ 。

$24 z^{2} (4 z^{3}) + 72 z^{3} - 48 z^{2}$

解题步骤 1.2

从 $72 z^{3}$ 中分解出因数 $24 z^{2}$ 。

$24 z^{2} (4 z^{3}) + 24 z^{2} (3 z) - 48 z^{2}$

解题步骤 1.3

从 $- 48 z^{2}$ 中分解出因数 $24 z^{2}$ 。

$24 z^{2} (4 z^{3}) + 24 z^{2} (3 z) + 24 z^{2} (- 2)$

解题步骤 1.4

从 $24 z^{2} (4 z^{3}) + 24 z^{2} (3 z)$ 中分解出因数 $24 z^{2}$ 。

$24 z^{2} (4 z^{3} + 3 z) + 24 z^{2} (- 2)$

解题步骤 1.5

从 $24 z^{2} (4 z^{3} + 3 z) + 24 z^{2} (- 2)$ 中分解出因数 $24 z^{2}$ 。

$24 z^{2} (4 z^{3} + 3 z - 2)$

解题步骤 2

因数。

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解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解 $4 z^{3} + 3 z - 2$ 。

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解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

解题步骤 2.1.3

代入 $0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $0.5$ 代入多项式。

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

解题步骤 2.1.3.2

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

解题步骤 2.1.3.3

将 $4$ 乘以 $0.125$ 。

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

解题步骤 2.1.3.4

将 $3$ 乘以 $0.5$ 。

$0.5 + 1.5 - 2$

解题步骤 2.1.3.5

将 $0.5$ 和 $1.5$ 相加。

$2 - 2$

解题步骤 2.1.3.6

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0$

解题步骤 2.1.4

因为 $0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 z - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{4 z^{3} + 3 z - 2}{2 z - 1}$

解题步骤 2.1.5

用 $4 z^{3} + 3 z - 2$ 除以 $2 z - 1$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 z$

$1$

$4 z^{3}$

$0 z^{2}$

$3 z$

$2$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $4 z^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 z$ 。

					$2 z^{2}$
	$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 z^{2}$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			+	$4 z^{3}$	-	$2 z^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 z^{3} - 2 z^{2}$ 中的所有符号

				$2 z^{2}$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 z^{2}$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 z^{2}$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $2 z^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 z$ 。

				$2 z^{2}$	+	$z$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 z^{2}$	+	$z$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					+	$2 z^{2}$	-	$z$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 z^{2} - z$ 中的所有符号

				$2 z^{2}$	+	$z$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 z^{2}$	+	$z$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$
							+	$4 z$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 z^{2}$	+	$z$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$
							+	$4 z$	-	$2$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $4 z$ 除以除数中的最高阶项 $2 z$ 。

				$2 z^{2}$	+	$z$	+	$2$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$
							+	$4 z$	-	$2$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 z^{2}$	+	$z$	+	$2$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$
							+	$4 z$	-	$2$
							+	$4 z$	-	$2$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 z - 2$ 中的所有符号

				$2 z^{2}$	+	$z$	+	$2$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$
							+	$4 z$	-	$2$
							-	$4 z$	+	$2$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 z^{2}$	+	$z$	+	$2$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$
							+	$4 z$	-	$2$
							-	$4 z$	+	$2$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 z^{2} + z + 2$

解题步骤 2.1.6

将 $4 z^{3} + 3 z - 2$ 书写为因数的集合。

$24 z^{2} ((2 z - 1) (2 z^{2} + z + 2))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$24 z^{2} (2 z - 1) (2 z^{2} + z + 2)$

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