初等代数示例

$\frac{x + 6}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 5 x + 6}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{x + 6}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{2}{x^{2} - 5 x + 6}$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{x^{2} - 5 x + 6}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $- 5$ 。

$- 3, - 2$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 2) (x - 2) (x - 3)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)}$ 乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$ 乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{2 (x + 2)}{(x - 3) (x - 2) (x + 2)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 3) (x - 2) (x + 2)$ 的因式。

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 6) (x - 3) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 6) (x - 3)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{x (x - 3) + 6 (x - 3) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 6 (x - 3) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x + 6 x + 6 \cdot - 3 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{x^{2} - 3 x + 6 x - 18 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 3 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 3 x - 18 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 3 x - 18 + 2 x + 2 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} + 3 x - 18 + 2 x + 4}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.5

将 $3 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 5 x - 18 + 4}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.6

将 $- 18$ 和 $4$ 相加。

$\frac{x^{2} + 5 x - 14}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.7

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x - 14$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 14$ ，和为 $5$ 。

$- 2, 7$

解题步骤 6.7.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 7

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\frac{x + 7}{(x + 2) (x - 3)}$

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