初等代数示例

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} < \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$

解题步骤 1

从不等式两边同时减去 $\frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ 。

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16} < 0$

解题步骤 2

化简 $\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ 。

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解题步骤 2.1

化简分母。

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解题步骤 2.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 4^{2}} < 0$

解题步骤 2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{x + 1}{x - 4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 。

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.3

要将 $\frac{x - 2}{x + 4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 。

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 4) (x + 4)$ 的形式。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{x + 1}{x - 4}$ 乘以 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{x - 2}{x + 4}$ 乘以 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.4.3

重新排序 $(x - 4) (x + 4)$ 的因式。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 4)$ 。

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解题步骤 2.7.1.1

运用分配律。

$\frac{x (x + 4) + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.1.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.1.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.2.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.2.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.2.2

将 $4 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.3

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 4)$ 。

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解题步骤 2.7.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x (x - 4) - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.3.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.3.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.7.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.4.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.4.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 x - 2 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.4.2

从 $- 4 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.5

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.6

化简。

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解题步骤 2.7.6.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.7.6.2

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.8

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.9

将 $2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.10

从 $5 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{4 x^{2} - x + 4 + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.11

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 4 + 8 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.12

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 12 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.13

从 $12$ 中减去 $32$ 。

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.14

化简分子。

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解题步骤 2.14.1

从 $4 x^{2} - 2 x - 20$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.14.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{2}) - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.14.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.14.1.3

从 $- 20$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.14.1.4

从 $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.14.1.5

从 $2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.14.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.14.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 2.14.2.1.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} - (x) - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.14.2.1.2

把 $- 1$ 重写为 $4$ 加 $- 5$

$\frac{2 (2 x^{2} + (4 - 5) x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.14.2.1.3

运用分配律。

$\frac{2 (2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.14.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.14.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{2 ((2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.14.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{2 (2 x (x + 2) - 5 (x + 2))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 2.14.2.3

通过因式分解出最大公因数 $x + 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{2 ((x + 2) (2 x - 5))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

解题步骤 3

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 5

在等式两边都加上 $5$ 。

$2 x = 5$

解题步骤 6

将 $2 x = 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $2 x = 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{5}{2}$

解题步骤 7

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 8

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 9

求解每个因式，以求出绝对值表达式从负数变为正数的值。

$x = - 2$

$x = \frac{5}{2}$

$x = - 4$

$x = 4$

解题步骤 10

合并解集。

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

解题步骤 11

求 $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ 的定义域。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$(x + 4) (x - 4) = 0$

解题步骤 11.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 11.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 11.2.2

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 11.2.2.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 11.2.3

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 11.2.3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 11.2.4

最终解为使 $(x + 4) (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 4, 4$

解题步骤 11.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

解题步骤 12

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

解题步骤 13

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 13.1

检验区间 $x < - 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 13.1.1

选择区间 $x < - 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 6$

解题步骤 13.1.2

使用原不等式中的 $- 6$ 替换 $x$ 。

$\frac{(- 6) + 1}{(- 6) - 4} + \frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} < \frac{- 2 {(- 6)}^{2} - 6 + 32}{{(- 6)}^{2} - 16}$

解题步骤 13.1.3

左边的 $4.5$ 不小于右边的 $- 2.3$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 13.2

检验区间 $- 4 < x < - 2$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 13.2.1

选择区间 $- 4 < x < - 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 3$

解题步骤 13.2.2

使用原不等式中的 $- 3$ 替换 $x$ 。

$\frac{(- 3) + 1}{(- 3) - 4} + \frac{(- 3) - 2}{(- 3) + 4} < \frac{- 2 {(- 3)}^{2} - 3 + 32}{{(- 3)}^{2} - 16}$

解题步骤 13.2.3

左边的 $- 4.\overline{714285}$ 小于右边的 $- 1.\overline{571428}$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 13.3

检验区间 $- 2 < x < \frac{5}{2}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 13.3.1

选择区间 $- 2 < x < \frac{5}{2}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 13.3.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{(0) + 1}{(0) - 4} + \frac{(0) - 2}{(0) + 4} < \frac{- 2 {(0)}^{2} + 0 + 32}{{(0)}^{2} - 16}$

解题步骤 13.3.3

左边的 $- 0.75$ 不小于右边的 $- 2$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 13.4

检验区间 $\frac{5}{2} < x < 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 13.4.1

选择区间 $\frac{5}{2} < x < 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 3$

解题步骤 13.4.2

使用原不等式中的 $3$ 替换 $x$ 。

$\frac{(3) + 1}{(3) - 4} + \frac{(3) - 2}{(3) + 4} < \frac{- 2 {(3)}^{2} + 3 + 32}{{(3)}^{2} - 16}$

解题步骤 13.4.3

左边的 $- 3.\overline{857142}$ 小于右边的 $- 2.\overline{428571}$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 13.5

检验区间 $x > 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 13.5.1

选择区间 $x > 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 6$

解题步骤 13.5.2

使用原不等式中的 $6$ 替换 $x$ 。

$\frac{(6) + 1}{(6) - 4} + \frac{(6) - 2}{(6) + 4} < \frac{- 2 {(6)}^{2} + 6 + 32}{{(6)}^{2} - 16}$

解题步骤 13.5.3

左边的 $3.9$ 不小于右边的 $- 1.7$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 13.6

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 4$ 为假

$- 4 < x < - 2$ 为真

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ 为假

$\frac{5}{2} < x < 4$ 为真

$x > 4$ 为假

$x < - 4$ 为假

$- 4 < x < - 2$ 为真

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ 为假

$\frac{5}{2} < x < 4$ 为真

$x > 4$ 为假

解题步骤 14

解由使等式成立的所有区间组成。

$- 4 < x < - 2$ 或 $\frac{5}{2} < x < 4$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$- 4 < x < - 2 or \frac{5}{2} < x < 4$

区间计数法：

$(- 4, - 2) \cup (\frac{5}{2}, 4)$

解题步骤 16

初等代数 示例

初等代数示例