初等代数示例

Add: $\frac{x}{x^{2} + 7 x + 12} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 7 x + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $7$ 。

$3, 4$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 4^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 。

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 3) (x + 4) (x - 4)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ 乘以 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 。

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 4) (x - 4) (x + 3)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x + 4) (x - 4) (x + 3)$ 的因式。

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{x (x - 4) + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.3

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.5

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.6

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 0 + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.7

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

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