初等代数示例

$\frac{3}{x^{2} + 2 x - 15} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 25}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $2$ 。

$- 3, 5$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 25}$

解题步骤 1.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

解题步骤 1.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

解题步骤 1.2.3

重写多项式。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

解题步骤 1.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 2

要将 $\frac{3}{(x - 3) (x + 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 3) {(x + 5)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{3}{(x - 3) (x + 5)}$ 乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) (x + 5) (x + 5)} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

解题步骤 4.2

对 $x + 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) ({(x + 5)}^{1} (x + 5))} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

解题步骤 4.3

对 $x + 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{1 + 1}} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{2}} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

解题步骤 4.6

将 $\frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{2}} - \frac{4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 4.7

重新排序 $(x - 3) {(x + 5)}^{2}$ 的因式。

$\frac{3 (x + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)} - \frac{4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (x + 5) - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{3 x + 3 \cdot 5 - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 6.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3 x + 15 - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{3 x + 15 - 4 x - 4 \cdot - 3}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 6.4

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 x + 15 - 4 x + 12}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 6.5

从 $3 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{- x + 15 + 12}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 6.6

将 $15$ 和 $12$ 相加。

$\frac{- x + 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 7.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) + 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 7.2

将 $27$ 重写为 $- 1 (- 27)$ 。

$\frac{- (x) - 1 (- 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 7.3

从 $- (x) - 1 (- 27)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x - 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 7.4

化简表达式。

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解题步骤 7.4.1

将 $- (x - 27)$ 重写为 $- 1 (x - 27)$ 。

$\frac{- 1 (x - 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

解题步骤 7.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x - 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

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