初等代数示例

$\frac{5 x}{2 x^{2} + 5 x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ 并且它们的和为 $b = 5$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 x}{2 x^{2} + 5 (x) - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

解题步骤 1.1.1.2

把 $5$ 重写为 $- 1$ 加 $6$

$\frac{5 x}{2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{5 x}{2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{5 x}{(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

解题步骤 1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{5 x}{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

解题步骤 1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

解题步骤 1.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 3^{2}}$

解题步骤 1.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

解题步骤 1.2.3

重写多项式。

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} - \frac{2 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

解题步骤 1.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2

要将 $\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ 。

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(2 x - 1) {(x + 3)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) (x + 3) (x + 3)} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

解题步骤 4.2

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) ({(x + 3)}^{1} (x + 3))} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

解题步骤 4.3

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1})} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) {(x + 3)}^{1 + 1}} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) {(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

解题步骤 4.6

将 $\frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}}$ 乘以 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ 。

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) {(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x (2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 4.7

重新排序 $(2 x - 1) {(x + 3)}^{2}$ 的因式。

$\frac{5 x (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)} - \frac{2 x (2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{5 x (x + 3) - 2 x (2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

从 $5 x (x + 3) - 2 x (2 x - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $5 x (x + 3)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (5 (x + 3)) - 2 x (2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 6.1.2

从 $- 2 x (2 x - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (5 (x + 3)) + x (- 2 (2 x - 1))}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 6.1.3

从 $x (5 (x + 3)) + x (- 2 (2 x - 1))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (5 (x + 3) - 2 (2 x - 1))}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{x (5 x + 5 \cdot 3 - 2 (2 x - 1))}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 6.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x (5 x + 15 - 2 (2 x - 1))}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{x (5 x + 15 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 6.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x (5 x + 15 - 4 x - 2 \cdot - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 6.6

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x (5 x + 15 - 4 x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 6.7

从 $5 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{x (x + 15 + 2)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

解题步骤 6.8

将 $15$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x (x + 17)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

初等代数 示例

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