初等代数示例

$\frac{3 x - 5}{x^{2} + 3 x + 2} + \frac{x}{x + 2}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $3$ 。

$1, 2$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3 x - 5}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{x}{x + 2}$

解题步骤 2

要将 $\frac{x}{x + 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{3 x - 5}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 1) (x + 2)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x}{x + 2}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{3 x - 5}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{x (x + 1)}{(x + 2) (x + 1)}$

解题步骤 3.2

重新排序 $(x + 2) (x + 1)$ 的因式。

$\frac{3 x - 5}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x - 5 + x (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{3 x - 5 + x \cdot x + x \cdot 1}{(x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x - 5 + x^{2} + x \cdot 1}{(x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 5.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x - 5 + x^{2} + x}{(x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 5.4

将 $3 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{4 x - 5 + x^{2}}{(x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 5.5

重新排序项。

$\frac{x^{2} + 4 x - 5}{(x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 5.6

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x - 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 5$ ，和为 $4$ 。

$- 1, 5$

解题步骤 5.6.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{(x + 1) (x + 2)}$

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