初等代数示例

$\frac{- 3}{x^{2} - 2 x - 8} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $- 2$ 。

$- 4, 2$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{- 3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

解题步骤 1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

解题步骤 1.3

化简分母。

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解题步骤 1.3.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 4^{2}}$

解题步骤 1.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 2

要将 $- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 。

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 4) (x + 2) (x + 4)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{3}{(x - 4) (x + 2)}$ 乘以 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 。

$- \frac{3 (x + 4)}{(x - 4) (x + 2) (x + 4)} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ 乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$- \frac{3 (x + 4)}{(x - 4) (x + 2) (x + 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 4) (x + 2) (x + 4)$ 的因式。

$- \frac{3 (x + 4)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2)}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(x + 4) (x - 4) (x + 2)$ 的因式。

$- \frac{3 (x + 4)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 (x + 4) + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{- 3 x - 3 \cdot 4 + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.2

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 3 x - 12 + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{- 3 x - 12 + x \cdot x + x \cdot 2}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.4

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 3 x - 12 + x^{2} + x \cdot 2}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.5

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 3 x - 12 + x^{2} + 2 \cdot x}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.6

将 $- 3 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{- x - 12 + x^{2}}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.7

重新排序项。

$\frac{x^{2} - x - 12}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 6.8

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.8.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 1$ 。

$- 4, 3$

解题步骤 6.8.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 7

约去 $x - 4$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x + 4)}$

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