初等代数示例

x^{2} - 2 x - 1 = 0

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 1

使用二次公式求解。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2

将

a = 1

$a = 1$ 、

b = - 2

$b = - 2$ 和

c = - 1

$c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解

x

$x$ 。

\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

对

- 2

$- 2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.2

乘以

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

将

- 4

$- 4$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.2.2

将

- 4

$- 4$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3

将

4

$4$ 和

4

$4$ 相加。

x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.4

将

8

$8$ 重写为

2^{2} \cdot 2

$2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

从

8

$8$ 中分解出因数

4

$4$ 。

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.4.2

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.5

从根式下提出各项。

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3

化简

\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

x = 1 \pm \sqrt{2}

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

x = 1 \pm \sqrt{2}

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 4

化简表达式以求

\pm

$\pm$ 在

+

$+$ 部分的解。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对

- 2

$- 2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

乘以

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将

- 4

$- 4$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2.2

将

- 4

$- 4$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3

将

4

$4$ 和

4

$4$ 相加。

x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4

将

8

$8$ 重写为

2^{2} \cdot 2

$2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

从

8

$8$ 中分解出因数

4

$4$ 。

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4.2

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5

从根式下提出各项。

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3

化简

\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

x = 1 \pm \sqrt{2}

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 4.4

将

\pm

$\pm$ 变换为

+

$+$ 。

x = 1 + \sqrt{2}

$x = 1 + \sqrt{2}$

x = 1 + \sqrt{2}

$x = 1 + \sqrt{2}$

解题步骤 5

化简表达式以求

\pm

$\pm$ 在

-

$-$ 部分的解。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对

- 2

$- 2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.2

乘以

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

将

- 4

$- 4$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.2.2

将

- 4

$- 4$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3

将

4

$4$ 和

4

$4$ 相加。

x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4

将

8

$8$ 重写为

2^{2} \cdot 2

$2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

从

8

$8$ 中分解出因数

4

$4$ 。

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4.2

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.5

从根式下提出各项。

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.3

化简

\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

x = 1 \pm \sqrt{2}

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 5.4

将

\pm

$\pm$ 变换为

-

$-$ 。

x = 1 - \sqrt{2}

$x = 1 - \sqrt{2}$

x = 1 - \sqrt{2}

$x = 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 6

最终答案为两个解的组合。

x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

小数形式：

x = 2.41421356 \dots, - 0.41421356 \dots

$x = 2.41421356 \dots, - 0.41421356 \dots$

初等代数 示例

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